Sistemas de ecuacións lineais

Unha ecuación lineal (ou ecuación de primer grado) é a que está composta por sumas e restas de monomios de grado 1 ou termos independentes. De forma xeral unha ecuación lineal ten a seguinte expresión:

\[a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b\]

Na expresión \(x_i\) son as incógnitas, \(a_i\) son os coeficientes e \(b\) é termo independente.

Un sistema de ecuacións lineais é un conxunto de dous ou máis ecuacións lineais. Non é necesario que o número de ecuacións coincida co número de incógnitas. De forma xeral un sistema de \(m\) ecuacións con \(n\) incógnitas o expresamos así:

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n & = & b_2 \\ ... &  & ... \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n & = & b_m \end{array} \right. \]

Un sistema de ecuacións homoxéneo é o que ten todos os termos independentes iguais a cero.

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n & = & 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n & = & 0 \\ ... &  & ... \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n & = & 0 \end{array} \right. \]

Estos sistemas teñen polo menos unha solución, a solución na que todas as incógnitas valen 0, esta solución coñécese como solución trivial.

Todo sistema lineal pódese expresar de forma matricial como \(AX = B\):

\[ \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_m \end{matrix} \right) \]

Temos aquí un par de exemplos:

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} 2x + 3y & = & 5 \\ -x + 2y & = & 1 \end{array} \right. \rightarrow \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \right)\]

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} 2x + 3y + z & = & 7 \\ -x + 2y - z & = & -1 \end{array} \right. \rightarrow \left( \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 7 \\ -1 \end{matrix} \right)\]

Chamamos matriz ampliada do sistema á matriz \(\left(A|B\right)\):

\[ A^* = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_m \end{matrix} \right) \]

Nos sistemas anteriores:

\[  \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \right) \hspace{2cm} \left( \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{matrix} \right.\left|  \begin{matrix} 7 \\ -1 \end{matrix} \right)\]