Dada unha matriz A de dimensión m × n, a matriz trasposta A^t é a matriz de dimensión n × m na que os elementos intercambian a posición da fila coa da columna.

\[ A = \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{matrix} \right) \rightarrow A^t = \left(\begin{matrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{matrix} \right) \hspace{36pt} B = \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right) \rightarrow B^t = \left(\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \\ \end{matrix} \right) \]

Unha matriz é simétrica se A = A^t.

Unha matriz é antisimétrica se A = -A^t.

Dadas dúas matrices coa mesma dimensión m × n, a suma/resta é unha nova matriz de dimensión m × n resultado de sumar/restar cada un dos elementos que están na mesma posición.

A_{m × n} ± B_{m × n} = (a_ij ± b_ij)_{m × n}

\[ \left(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & -1 \\ 0 & 2 & -5 & 3 \\ \end{matrix} \right) + \left(\begin{matrix} 1 & 9 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 2 + 1 & 3 + 9 & 7 - 3 & -1 + 1 \\ 0 + 2 & 2 + 5 & -5 + 2 & 3 + 1 \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 3 & 12 & 4 & 0 \\ 2 & 7 & -3 & 4 \\ \end{matrix} \right) \]

Dado un escalar e unha matriz de dimensión m × n, o produto de ambos é unha matriz de dimensión m × n na que cada un dos elementos é o da matriz orixinal multiplicado polo escalar.

k · A_{m × n} = (k · a_ij)_{m × n}

\[ 3 \cdot \left(\begin{matrix} 8 & 2 \\ 0 & -3 \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 3 \cdot 8 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot (-3) \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 24 & 6 \\ 0 & -9 \\ \end{matrix} \right) \]

O produto A · B, sendo A e B matrices, só pode realizarse se o número de columnas de A coincide co de filas de B, é dicir se a dimensión de A é m × n e a de B é n × p. A dimensión de A · B será m × p.

Os elementos da matriz resultado do produto se calculan do seguinte xeito: \[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj} \]

\[ A_{3\times 2} = \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix} \right) \hspace{6pt} B_{2\times 2} \left(\begin{matrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ \end{matrix} \right) \]

Podemos facer o produto A · B, porque o número de columnas de A é 2, que coincide co número de filas de B, tamén 2. Sen embargo non podemos facer o produto B · A, porque o número de columnas de B é 2 e non coincide co número de filas de A que é 3. Calculemos logo A · B:

\[ A \cdot B = \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 \\ 3 \cdot 7 + 4 \cdot 9 & 3 \cdot 8 + 4 \cdot 10 \\ 5 \cdot 7 + 6 \cdot 9 & 5 \cdot 8 + 6 \cdot 10 \\\end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 25 & 28 \\ 57 & 64 \\ 89 & 100 \\ \end{matrix} \right) \]

A potencia dunha matriz consiste en multiplicar a matriz o número de veces que indique o expoñente.

Observa que como ao ir multiplicando o número de columnas da primeira matriz que se multiplica ten que coincidir co número de filas da seguinte, a potencia so se poderá facer entre matrices cadradas.

Elevar a cero: A⁰ = I

NOTA: A potencia dunha matriz NON é elevar cada un dos seus termos ao expoñente que apareza.

• Propiedade conmutativa: a suma, a resta e o produto por un escalar cumpren a propiedade conmutativa, pero o produto de matrices NON é conmutativo.
• (A + B)^t = A^t + B^t
• Distributiva: (A + B) · C = A · C + B · C