Regra de Cramer

Coa regra de Cramer resolvemos un sistema de ecuacións calculando determinantes.

Se temos un sistema de \(n\) ecuacións lineais con  \(n\) incógnitas, \(AX = B\), tal que \(|A| \neq 0\), entón o sistema é compatible determinado e a súa solución única ven dada por:

\[ x_i = \frac{|A_i|}{|A|}\]

onde \(A_i\) é a matriz de coeficientes na que a columna relativa á incógnita \(x_i\) foi sustituida pola de termos independentes.

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} x + y + z & = & 3 \\ x - 2y + 3z & = & 2 \\ 2x + y - 2z & = & 1 \end{array} \right. \implies A^* = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \]

Temos que \(|A| = 14\), logo podemos aplicar a regra de Cramer tal e como está enunciada.

\[x = \frac{\left| \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix} \right|}{14} = \frac{14}{14} = 1 \hspace{2cm} y = \frac{\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right|}{14} = \frac{14}{14} = 1 \hspace{2cm} z = \frac{\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1\end{matrix} \right|}{14} = \frac{14}{14} = 1  \]

Se \(|A| = 0\), non podemos aplicar Cramer tal e como está enunciado. Co teorema de Rouché-Frobenius comprobamos que tipo de sistema é. Se o resultado é que é incompatible, xa non ten sentido resolvelo utilizando a regra de Cramer, posto que non ten solución.

Pero se tras aplicar o teorema de Rouché-Frobenius vemos que compatible indeterminado, podemos aplicar a regra de Cramer para resolvelo con algún cambio.

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} x - y + 3z & = & 4 \\ 2x - y - z & = & 6 \\ 3x - 2y + 2z & = & 10 \end{array} \right. \implies A^* = \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & -2 & -2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 10 \end{matrix} \right) \]

Temos que \(|A| = 0\), pero podemos atopar un menor de orde 2 distinto de 0, por exemplo, \(\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| = 1\), logo \(rg(A) = 2\). Como resulta que a terceira fila é a suma das dúas primeiras, non imos atopar un menor de orde 3 na matriz ampliada, logo, \(rg(A^*) = 2\).

Eliminamos a ecuación que queda fóra do menor e lle asignamos a incógnita correspondente (primeira ecuación-primeira incógnita, segunda ecuación-segunda incógnita,...) un parámetro e escribimos o novo sistema:

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} x - y + 3z & = & 4 \\ 2x - y - z & = & 6 \\ \cancel{3x - 2y + 2z} & = & \cancel{10} \end{array} \right. \xrightarrow{z = \lambda} \left\{ \begin{array}{lcl} x - y & = & 4 - 3\lambda \\ 2x - y & = & 6 + \lambda \end{array} \right. \implies A^* = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 4 - 3\lambda \\ 6 + \lambda \end{matrix} \right) \]

 E neste sistema podemos aplicar a regra de Cramer:

\[x = \frac{\left| \begin{matrix} 4 - 3\lambda & -1 \\ 6 + \lambda & -1 \end{matrix} \right|}{1} = 2 + 4\lambda \hspace{2cm} y = \frac{\left|\begin{matrix} 1 & 4 - 3\lambda \\ 2 & 6 + \lambda \end{matrix} \right|}{1} = -2 + 7\lambda \]