Dada a función \(f(x)\), a definición da función derivada ven dada polo seguinte límite:
\[f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]
Este límite o podemos usar de xeito xeral ou para saber a pendente dunha función nun punto concreto.
Derivabilidade: Unha función continua é derivable nun punto, se existen os limites laterias da función derivada e son iguais.
NOTA: Toda función derivable nun punto é necesariamente continua en dito punto.
Aplicación da definición de derivada nun punto
Dada a función \(f(x) = 3x^2 + 5x - 1\) quérese saber cal é a pendente da recta tanxente en \(x = -2\).
Como a pendente da recta tanxente ven dada pola derivada nese punto:
\[f'(-2) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{3(-2 + h)^2 + 5(-2 + h) - 1 - 1}{h} =\]
\[= \lim\limits_{h \to 0} \frac{3(4 - 4h + h^2) - 10 + 5h - 2}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{12 - 12h + 3h^2 + 5h - 12}{h} = \]
\[= \lim\limits_{h \to 0} \frac{3h^2 - 7h}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h (3h - 7)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} (3h - 7) = -7\]
Cálculo da función derivada
Dada a función \(f(x) = \frac{1}{x}\) quérese saber cal é a súa función derivada, é dicir, unha expresión que nos permita calcular cal sería a pendente para calquera punto, en lugar de ir tendo que calcular todos os límites.
Aplicamos a definición para un valor xenérico de \(x\):
\[f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} =\]
\[= \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x(x + h)} - \frac{x + h}{x(x + h)}}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{x - (x + h)}{x \cdot (x + h) \cdot h} =\]
\[= \lim\limits_{h \to 0} \frac{-h}{x \cdot (x + h) \cdot h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-1}{x \cdot (x + h)} = \frac{-1}{x^2}\]
Neste caso atopamos que a función derivada é \(f'(x) = \frac{-1}{x^2}\). Se agora preguntasen cal é a pendente da recta tanxente a \(f(x)\) en \(x = 1,\) \(x = -2\), \(x = 10\), poderíamos calculala directamente sen ter que facer os tres límites:
\[f'(1) = \frac{-1}{1^2} = -1, f'(-2) = \frac{-1}{(-2)^2} = \frac{-1}{4}, f'(10) = \frac{-1}{10^2} = \frac{-1}{100}\]
Ecuación da recta tanxente
A ecuación da recta tanxente á gráfica da función \(f\) no punto \((a, f(a))\) é:
\[y - f(a) = f'(a)(x - a)\]
Ecuación da recta normal
A recta normal á gráfica da función \(f\) no punto \((a, f(a))\) é a recta perpendicular á recta tanxente en dito punto, e a súa ecuación é:
\[y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)\]