Neste tipo de exercicios, ademais das incógnitas do sistema temos un parámetro (ou varios) no que se trata de pescudar o tipo de sistema que temos (o número de solucións do sistema) segundo ese parámetro teña un valor ou outro.

\[ \left\{ \begin{array}{lcr} x + 2y + z & = & 5 \\ 2x + ky - 2z & = & -1 \\ 2x + z & = & k \end{array}\right. \implies A^* = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & k & -2 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 5 \\ -1 \\ k \end{matrix}\right) \]

\[ \left|\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & k & -2 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} \right| = -k - 12 \]

O determinante da matriz vai ser 0 cando \(-k - 12 = 0 \implies k = -12\).

Analizamos que ocorre segundo o valor de \(k\).

• Se \(k \neq -12\), o determinante da matriz é distinto de cero, logo \(rg(A) = 3\), que é o rango máximo, logo \(rg(A^*) = 3\), temos que \(rg(A) = rg(A^*) = \) nº de incógnitas. Logo o sistema é compatible determinado.
• Se \(k = -12\), o determinante da matriz é cero. Sustituimos o parámetro polo valor e calculamos o rango:
  \[A^* = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -12 & -2 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 5 \\ -1 \\ -12 \end{matrix}\right) \]
  \(rg(A) = 2\) posto que existe un menor de orde 2 distinto de 0, por exemplo \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -12 \end{matrix}\right| = -16\).
  E sen embargo \(rg(A^*) = 3\) xa que temos o seguinte menor de orde 3 distinto de 0, \(\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 5 \\ -12 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -12 \end{matrix}\right| = -154\)
  Logo \(rg(A) \neq rg(A^*)\), polo que o sistema é incompatible.

Os problemas de sistemas de ecuacións que se veñen resolvendo dende 2º de ESO agora poderían resolverse utilizando as matrices para atopar a solución do sistema ao que da lugar o problema.

Queremos comprar tres novelas, unha con encadernación en tapa dura, outra en rústica e a última en edición de peto. Actualmente o prezo que me cobrarían por comprar as tres sería de 54 euros. Se espero unha semana, podo escoller entre un desconto nas de tapa dura do 10 % e do 7 % nas encadernadas en rústica, ou ben un desconto do 5 % nas de tapa dura, o 10 % nas encadernadas en rústica e o 4 % na de peto, e en ambas opcións cobraríanme 50,54 euros.

¿Cal é o prezo de cada unha das novelas?

Escribimos o sistema que resulta do enunciado \(\left\{ \begin{array}{lcr} x + y + z & = & 54 \\ 0,9x + 0,93y + z & = & 50,54 \\ 0,95x + 0,9y + 0,96z & = & 50,54 \end{array}\right.\)

A matriz ampliada deste sistema é \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0,9 & 0,93 & 1 \\ 0,95 & 0,9 & 0,96 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 54 \\ 50,54 \\ 50,54 \end{matrix}\right) \rightarrow \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 90 & 93 & 100 \\ 95 & 90 & 96 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 54 \\ 5054 \\ 5054 \end{matrix}\right)\)

Resolvemos o sistema polo método da nosa elección. Neste caso chegamos a \(x = 22, y = 18, z = 14\), é dicir, o libro de tapa dura vale 22 euros, o que está encadernada en rústica é de 18 euros e o libro de peto vale 14 euros.