Continuidade

	• Existe \(\lim\limits_{x \to c} f(x)\)
Unha función é continua nun punto \(c\) se se verifican á vez as seguintes condicións:	• Existe \(f(c)\), é dicir, \(c\) pertence ao dominio de \(f(x)\)
	• \(\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c)\)

Tipos de discontinuidade

Existen tres tipos de discontinuidade:

Discontiuidade de salto finito: existen ambos límites laterais e son finitos, pero son distintos entre si, é dicir, \(\lim\limits_{x \to c^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to c^+} f(x)\).

Discontinuidade de salto infinito: se algún límite lateral (ou os dous) dan como resultado \(+\infty\) ou \(-\infty\), é dicir, \(\lim\limits_{x \to c^-} f(x) = \pm\infty\) e/ou \(\lim\limits_{x \to c^+} f(x) = \pm\infty\).

Discontinuidade evitable: se existe \(\lim\limits_{x \to c} f(x)\), pero é distinto de \(f(c)\) ou non existe \(f(c)\), é dicir, \(\lim\limits_{x \to c} f(x) \neq f(c)\).

As funcións elementais (funcións constantes, polinómicas, radicais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas) son continuas no seus respectivos dominios de definición.

Cando operamos con funcións continuas nun punto, \(c\), obtemos unha función continua nese punto. Así temos que se \(f(x)\) e \(g(x)\) continuas en \(x = c\):

\(\left(f \pm g\right)(x) = f(x) \pm g(x)\) é continua en \(x = c\).

\(\left(f \cdot g\right)(x) = f(x) \cdot g(x)\) é continua en \(x = c\).
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) é continua en \(x = c\), sendo \(g(c) \neq 0\).
\(\left(f \circ g\right)(x) = f(x) \circ g(x)\) é continua en \(x = c\).

Un clásico

Estuda a continuidade de \(f(x) = \left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{x} & \text{se} & x \leq -1 \\ 5x + 4 & \text{se} & x > -1 \end{array}\right.\)

Solución:

No intervalo \((-\infty, -1)\) temos un cociente de funcións continuas nese intervalo, xa que se trata dunha función constante entre unha función polinómica, logo o cociente vai ser unha función continua nese intervalo.

No intervalo \((-1, +\infty\) temos unha función polinómica, logo a función vai ser continua.

Temos que analizar que ocorre no punto \(x = 1\):

\(\lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^-} \frac{1}{x} = -1 \equiv f(1)\)

\(\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^+} (5x + 4) = -1\)

Logo temos que \(\lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = f(1)\), polo que a función é continua en \(x = -1\).

A función é continua en todo \(\mathbb{R}\).

O clásico cun extra

Atopa o valor de \(a\) e \(b\) para que a seguinte función sexa continua: \(f(x) = \left\{\begin{array}{lll} x^2 + 1 & \text{se} & x < -1 \\ ax + b & \text{se} & -1 \leq x < 2 \\ \frac{1}{x} & \text{se} & x \geq 2 \end{array}\right.\)

Solución:

A función é continua nos intervalos \((-\infty, -1), (-1, 2), (2, +\infty)\), posto que nos dous primeiros casos son funcións polinómicas e no terceiro caso trátase do cociente de dúas función continuas e a función está definida en todos os puntos dese intervalo.

Vemos entón que ocorre nos puntos nos que se pasa dunha función a outra.

\(x = -1 \rightarrow \left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^-} (x^2 + 1) = 2 \\ \lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^+} (ax + b) = -a + b \end{array}\right.\), logo para que sexa continua en \(x = -1\), ten que cumprirse que \(2 = -a + b\).

\(x = 2 \rightarrow \left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^-} (ax + b) = 2a + b \\ \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \end{array}\right.\), logo para que sexa continua en \(x = 2\), ten que cumprirse que \(2a + b = \frac{1}{2}\).

Polo tanto teñen que cumprirse as seguintes condicións: \(\left\{\begin{array}{l} -a + b = 2 \\ 2a + b = \frac{1}{2}\end{array}\right.\). Resolvemos o sistema e obtemos que os valores de \(a\) e \(b\) para que a función sexa continua en todo \(\mathbb{R}\) son \(a = \frac{-1}{2}\) e \(b = \frac{3}{2}\).

Licenciado baixo a Licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 4.0