Extraordinaria 2025
Dada a función:
\[f(x) = \left\{\begin{array}{ll} xe^{4x} & \text{se } x < 0 \\ \frac{\ln (1+x)}{1 + x} & \text{se } 0 \leq x \end{array}\right.\]
pídese responder as seguintes cuestións:
a) Estudie a continuidade da función \(f(x)\) en \(x = 0\).
b) Estudie a derivabilidade da función \(f(x)\) en \(x = 0\).
c) Calcule a ecuación da recta tanxente á curva \(f(x)\) en \(x = -1\).
Solución
a) Para que sexa continua o límite pola esquerda e o límite pola dereita deben coincidir entre eles e tamén co valor da función no punto.
\(\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} xe^{4x} = 0 \cdot e^{4 \cdot 0} = 0\)
\(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln (1+x)}{1 + x} = \frac{\ln 1}{1} = 0 \equiv f(0)\)
Polo tanto como os límites laterais en \(x = 0\) coinciden e coinciden co valor de \(f(0)\) a función é continua neste punto.
b) Para que sexa derivable en \(x = 0\) os límites laterais da función derivada no punto teñen que coincidir:
\[f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} e^{4x} + 4xe^{4x} & \text{se } x < 0 \\ \frac{\frac{1}{1 + x}(1 + x) - \ln (1 + x)}{(1 + x)^2} & \text{se } 0 < x \end{array}\right. = \left\{\begin{array}{ll} e^{4x} (1 + 4x) & \text{se } x < 0 \\ \frac{1 - \ln (1 + x)}{(1 + x)^2} & \text{se } 0 < x \end{array}\right.\]
\(\lim\limits_{x \to 0^-} f'(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} e^{4x} (1 + 4x) = 1\)
\(\lim\limits_{x \to 0^+} f'(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1 - \ln (1 + x)}{(1 + x)^2} = 1\)
Os límites laterais da función derivada coinciden, podemos definir \(f'(x)\) no punto \(x = 0\) logo é derivable nese punto.
c) A ecuación da recta tanxente á curva en \(x = -1\) é:
\(y - f(-1) = f'(-1)(x - (-1)) \implies y - (-e^{-4}) = -3e^{-4} (x + 1) \implies y = -3e^{-4}x -4e^{-4} \implies y = -e^{-4}(3x + 4)\)
Ordinaria 2025
Dada a función:
\[f(x) = \left\{\begin{array}{ll} kx^2 + 2x & \text{se } x \leq 1 \\ x^2 - m & \text{se } 1 < x \end{array}\right.\]
pídese responder as seguintes cuestións:
a) Que condición deben cumprir \(k\) e \(m\) para que \(f\) sexa continua en \(x = 1\)?
b) Para que valores de \(k\) e \(m\) é \(f\) derivable en \(x = 1\)?
Solución
a) Para que sexa continua o límite pola esquerda e o límite pola dereita deben coincidir entre eles e tamén co valor da función no punto.
\(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} kx^2 + 2x = k + 2 \equiv f(1)\)
\(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} x^2 - m = 1 - m\)
Logo temos que a función é continua cando \(k + 2 = 1 - m \implies k = -m - 1 = -(m + 1)\).
b) Para que sexa derivable os límites laterais da función derivada neses punto teñen que coincidir. E como tamén ten que ser continua, imos facer a derivada coa condición que xa sabemos que se ten que cumprir
\[f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2(-(m + 1))x + 2 & \text{se } x \leq 1 \\ 2x & \text{se } 1 < x \end{array}\right. = \left\{\begin{array}{ll} (-2m - 2)x + 2 & \text{se } x \leq 1 \\ 2x & \text{se } 1 < x \end{array}\right. \]
\(\lim\limits_{x \to 1^-} f'(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (-2m - 2)x + 2 = -2m - 2 + 2 = -2m\)
\(\lim\limits_{x \to 1^+} f'(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} 2x = 2\)
Logo para que sexa derivable \(-2m = 2 \implies m = -1\). E se \(m = -1\), entón \(k = -(-1 + 1) = 0\)