Dada unha matriz cadrada, A, o seu determinante é un número asociado a ela, que se denota como det(A) ou |A|.

• Determinante de matrices de orde 1: \[ \mid A \mid = \mid a_{11} \mid = a_{11} \]
• Determinante de matrices de orde 2: \[ \mid A \mid = \left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \]
• Determinante de matrices de orde 3. Regra de Sarrus: \[ \mid A \mid = \left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}  - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{23} \cdot a_{32} \cdot a_{11} - a_{33} \cdot a_{12} \cdot a_{21} \]

Para calcular o determinante de matrices de orde superior imos introducir os seguintes conceptos:

• Menor complementario do elemento a_ij: é o determinante que resulta de eliminar a fila e a columna do elemento. Denótase por M_ij, onde i e j son a fila e columnas eliminadas.
• Adxunto do elemento a_ij: unha vez se calcula M_ij, o adxunto, que se denota por A_ij é A_ij = (-1)^i+jM_ij.

Para calcular o determinante dunha matriz de calquera orde, desenvólvese dito determinante por unha das súas filas ou columnas, esto quere dicir que se por exemplo escollemos a fila i teríamos: \[ \mid A \mid = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} \]

Podemos escoller a fila ou a columna que queiramos, que o resultado final vai ser o mesmo.

\[ A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 2 & 4 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & 3 \\ 2 & 0 & 5 & 0 \\ \end{matrix} \right) \]

Se o desenvolvemos pola primeira fila sería:

\[ \mid A \mid = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} + a_{14}A_{14} = 1 \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{13} - 3 \cdot A_{14} \]

Observa que neste caso como dous dos adxuntos se multiplican por 0, non habería que calculalos posto que o resultado desa multiplicación vai ser a matriz nula, que ao sumar non vai aportar nada. Tendo en conta isto, para aforrar contas (e tempo) convén desenvolver o determinante pola fila ou columna que teña máis ceros, que neste caso sería a segunda columna.

 \[ \mid A \mid = a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32} + a_{42}A_{42} = 0 \cdot A_{12} + 4 \cdot A_{22} + 0 \cdot A_{32} + 0 \cdot A_{42} = \] \[ = 4 \cdot (-1)^{2 + 2} \left| \begin{matrix} 1 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 0 \\ \end{matrix} \right| = 4 \cdot 1 \cdot (0 + 0 + 15 - (-18) - 15 - 0) = 4 \cdot 18 = 72 \]

Propiedades dos determinantes:

• O determinante dunha matriz coincide co da súa trasposta: |A| = |A^t|
• Se unha matriz ten unha fila/columna de ceros, o seu determinante vale 0.
• O determinante do produto de dúas matrices é o produto dos seus determinantes: |A · B| = |A| · |B|
• Se dúas filas/columnas son iguais, o determinante é 0.
• Se unha fila/columna é múltiplo de outra, o determinante da matriz é 0.
• Se nunha matriz se intercambian dúas filas/columnas, o determinante cambia de signo.
• Se se multiplica cada elemento dunha fila/columna dunha matriz por un número, o determinante queda multiplicado por ese número.