Ordinaria 2025
Discuta, segundo os valores do parámetro \(m\), o sistema: \(\left\{\begin{array}{rcr} x + y + mz & = & 1 \\ x + my + z & = & 1 \\ mx + y + z & = & 1 \end{array} \right.\)Solución
A matriz ampliada do sistema é \(A^* = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{matrix} \right)\)
Calculamos o determinante da matriz \(A\):
\( \left|\begin{matrix}1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1\end{matrix}\right| = m + m + m - m^3 - 1 - 1 = -m^3 + 3m - 2\)
Se factorizamos utilizando Ruffini temos que: \(-m^3 + 3m - 2 = (m - 1)^2(-m - 2)\). Polo tanto o determinante anúlase para \(m = 1\) e \(m = -2\).
Estudiamos o sistema segundo os valores de \(m\)
- Se \(m \neq 1\) e \(m \neq -2\), o sistema é compatible determinado posto que \(rg(A) = rg(A^*) = 3\).
- Se \(m = 1\)
Tanto na matriz \(A\) como na matriz ampliada \(A^*\) as tres filas son iguais, logo temos que \(rg(A) = rg(A^*) = 1 < 3\), polo que o sistema é compatible indeterminado. - Se \(m = -2\)
\(rg(A) = 2\) posto que podemos encontrar un menor de orde 2 con determinante distinto de 0, por exemplo: \( \left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix}\right| = -3 \neq 0\)
\(rg(A^*) = 3\) posto que podemos encontrar un menor de orde 3 con determinante distinto de 0, por exemplo: \( \left|\begin{matrix}1 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{matrix}\right| = -1 \neq 0\)
Polo tanto \(rg(A) \neq rg(A^*)\), o sistema é incompatible.
Extraordinaria 2025
Discuta, segundo os valores do parámetro \(m\), o sistema: \(\left\{\begin{array}{rcr} x + my + z & = & m \\ x + (3 - m) z & = & 2m \\ my + 2z & = & 3m \end{array} \right.\)
Solución
A matriz ampliada do sistema é \(A^* = \left(\begin{matrix} 1 & m & 1 \\ 1 & 0 & 3 - m \\ 0 & m & 2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} m \\ 2m \\ 3m\end{matrix} \right)\)
Calculamos o determinante da matriz \(A\):
\( \left|\begin{matrix}1 & m & 1 \\ 1 & 0 & 3 - m \\ 0 & m & 2\end{matrix}\right| = m + m(3 - m) - 2m = m^2 - 4m = m (m - 4)\)
Polo tanto o determinante anúlase para \(m = 0\) e \(m = 4\).
Estudiamos o sistema segundo os valores de \(m\)
Se \(m \neq 0\) e \(m \neq 4\), o sistema é compatible determinado posto que \(rg(A) = rg(A^*) = 3\).
Se \(m = 0\)
\(rg(A) = 2\) posto que podemos encontrar un menor de orde 2 con determinante distinto de 0, por exemplo: \( \left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}\right| = 2 \neq 0\)
Posto que a nova columna coa matriz ampliada é todo 0, o rango da matriz ampliada non será maior que 2. Así \rg(A) = rg(A^*) = 2 < 3\), o sistema é compatible indeterminado.
Se \(m = 4\)
\(rg(A) = 2\) posto que podemos encontrar un menor de orde 2 con determinante distinto de 0, por exemplo: \( \left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}\right| = 2 \neq 0\)
\(rg(A^*) = 3\) posto que podemos encontrar un menor de orde 3 con determinante distinto de 0, por exemplo: \( \left|\begin{matrix}4 & 1 & 4\\ 0 & -1 & 8 \\ 4 & 2 & 12 \end{matrix}\right| = -64 \neq 0\)
Polo tanto \(rg(A) \neq rg(A^*)\), o sistema é incompatible.