Métodos de integración | Matemáticas II

Para as integrais que non vexamos de xeito inmediato, temos que recorrer a algúns procedementos que permitan simplificar as expresións e resulte máis sinxelo calculalas.

Unha opción que temos que ter sempre presente é operar a expresión alxebraica que apareza. E logo podemos recorrer a estes métodos de integración:

Cambio de variable

Neste procedemento imos substituír unha expresión por unha variable distinta que axudará a transformar nunha integral máis sinxela.

Unha vez elixido o cambio de variable, imos ter que calcular o diferencial desa nova variable, nesta expresión poderemos obter a expresión que substituirá ao diferencial.

Estes cambios trasládanse a integral, que agora quedará en función da nova variable, e será máis sinxela de resolver. A idea é que se temos unha función composta:

\[\displaystyle \int f'\left(g(x)\right)g'(x) dx \]

Se nesa expresión facemos: \(g(x) = t\), entón derivando nos dous lados da igualdade \(g'(x)dx = dt\), entón a expresión queda como:

\[\displaystyle \int f'\left(t\right) dt = f(t) + C \]

As integrais case inmediatas, podemos resolvelas con este procedemento. Por exemplo \( \displaystyle \int (2x^3 - 5x)^7(6x - 5)dx\).

Eliximos o cambio de variable: \(t = 2x^3 - 5x\)
Calculamos o diferencial da nova variable: \(dt = (6x - 5)dx\). Esta expresión vale xa para substituír todos os \(x\) da integral
Levamos os cambios á expresión da integral: \( \displaystyle \int (2x^3 - 5x)^7(6x - 5)dx = \int t^7dt = \frac{t^8}{8} + C\)
Desfacemos o cambio de variable: \( \displaystyle \int (2x^3 - 5x)^7(6x - 5)dx = \frac{t^8}{8} + C = \frac{(2x^3 - 5x)^8}{8} + C \)

Vexamos outro exemplo: \( \displaystyle \int \frac{5 + \ln 3x}{x \ln 3x}dx\)

Eliximos o cambio de variable: \(t = \ln 3x\)
Calculamos o diferencial da nova variable: \(\displaystyle dt = \frac{1}{3x} 3dx = \frac{1}{x} dx\). Esta expresión vale xa para substituír todos os \(x\) da integral
Levamos os cambios á expresión da integral: \( \displaystyle \int \frac{5 + \ln 3x}{x \ln 3x}dx = \int \frac{5 + t}{t} dt\)
Neste caso, se separamos a fracción en dúa temos \( \displaystyle \int \frac{5 + t}{t} dt = \int \left(\frac{5}{t} + \frac{t}{t} \right)dt = \int \left(\frac{5}{t} + 1 \right)dt = 5 \ln |t| + t + C\)
Desfacemos o cambio de variable: \( \displaystyle \int \frac{5 + \ln 3x}{x \ln 3x}dx = 5 \ln |t| + t + C = 5 \ln (\ln 3x) + \ln 3x + C\)

Integración por partes

Este o procedemento o utilizaramos cando teñamos un produto de dúas funcións e ningún dos dous métodos previos nos resulte útil. É dicir dada \(\displaystyle \int f(x) \cdot g(x) dx\) para resolvela teremos en conta a seguinte notación:

sexa \(f(x) = u, g(x)dx = dv\), polo que a integral pasa a poder expresarse como \(\displaystyle \int f(x) \cdot g(x) dx = \int u dv\).

A integración por partes consiste en aplicar a seguinte expresión:

\[\int u dv = u \cdot v - \int v du\]

(non é tan estrana, pensa na derivada do produto e usa esta notación do diferencial: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\), é dicir, \(d(u \cdot v) = du \cdot v + u \cdot dv\) e despexa)

Imos calcular \(\displaystyle \int (4x + 3)e^{5x} dx\). Temos un produto e non parece que un cambio de variable vaia aportar algo. Logo imos integrar por partes:

Indicamos as transformacións: \(u = 4x + 3 \implies du = 4dx\)
Tratamos de deixar a función que pareza máis sinxela de integrar para asignarlle \(dv\): \(\displaystyle dv = e^{5x}dx \implies v = \frac{1}{5}e^{5x}\)
Utilizamos a expresión: \(\displaystyle \int (4x + 3)e^{5x} dx = (4x + 3)\frac{1}{5}e^{5x} - \int \frac{1}{5}e^{5x} 4dx\)
Resolvemos a integral: \(\displaystyle \int (4x + 3)e^{5x} dx = (4x + 3)\frac{1}{5}e^{5x} - \int \frac{1}{5}e^{5x} 4 dx = (4x + 3)\frac{1}{5}e^{5x} - \frac{4}{5} \int e^{5x} dx = (4x + 3)\frac{1}{5}e^{5x} - \frac{4}{25} e^{5x} + C\)

Calculamos \(\displaystyle \int (x^3 + 2x - 1) \ln x dx\). Temos un produto de dúas funcións que no parecen estar relacionadas, integramos por partes:

Indicamos as transformacións: \(u = \ln x \implies du = \frac{1}{x}dx\)
Tratamos de deixar a función que pareza máis sinxela de integrar para asignarlle \(dv\): \(\displaystyle dv = (x^3 + 2x - 1) dx \implies v = \frac{1}{4}x^4 + x^2 - x\)
Utilizamos a expresión: \(\displaystyle \int (x^3 + 2x - 1) \ln x dx = \ln x \left(\frac{1}{4}x^4 + x^2 - x\right) - \int \left(\frac{1}{4}x^4 + x^2 - x\right) \frac{1}{x}dx\)
Na expresión da integral pódese operar: \(\displaystyle \int \left(\frac{1}{4}x^4 + x^2 - x\right) \frac{1}{x}dx = \int x \left(\frac{1}{4}x^3 + x - 1\right) \frac{1}{x}dx =\int \left(\frac{1}{4}x^3 + x - 1\right)dx\)
Resolvemos a integral: \(\displaystyle \int (x^3 + 2x - 1) \ln x dx = \ln x \left(\frac{1}{4}x^4 + x^2 - x\right) - \int \left(\frac{1}{4}x^3 + x - 1\right)dx = \ln x \left(\frac{1}{4}x^4 + x^2 - x\right) - \left(\frac{1}{4}\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} - x\right) + C = \ln x \left(\frac{1}{4}x^4 + x^2 - x\right) - \frac{x^4}{16} - \frac{x^2}{2} + x + C \)

Integración de funcións racionais

Unha función racional é da forma \(\displaystyle y = \frac{P(x)}{Q(x)}\), onde \(P(x)\) e \(Q(x)\) son polinomios.

Se o grado do numerador é maior ou igual que o grado do denominador, divídese o primeiro entre o segundo, co que obtemos un cociente, \(C(x)\) e un resto \(R(x)\). Polo que sabemos dunha división cúmprese que \(P(x) = Q(x) \cdot C(x) + R(x)\). Dividindo todos os términos entre \(Q(x)\) obtemos:

\[\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}\]

Por exemplo, imos comezar a resolver a integral \(\displaystyle \int \frac{x^5 - 2x^4 - 10x^3 + 16x^2 + 18x - 9}{x^2 - 2x - 3}dx\). Pensemos por pasos:

O grado do numerador é 5 e o grado do denominador é 2. Logo facemos a división de polinomios.
Obtemos o cociente \(\displaystyle C(x) = x^3 - 7x + 2\) e o resto \(\displaystyle R(x) = x - 3\)
Convertimos a integral:\(\displaystyle \int \frac{x^5 - 2x^4 - 10x^3 + 16x^2 + 18x - 9}{x^2 - 2x - 3}dx = \int \left(x^3 - 7x + 2 + \frac{x - 3}{x^2 - 2x - 3}\right) dx\)
Integramos os polinomios: \(\displaystyle \frac{x^4}{4} - \frac{7x^2}{2} + 2x + \int \frac{x - 3}{x^2 - 2x - 3} dx\)

Agora o problema redúcese ao cálculo dunha integral do tipo \(\displaystyle \int \frac{p(x)}{q(x)}dx\), onde o grado do numerador é menor que o grado do denominador.

Para calcular esta última integral factorizamos o denominador, \(q(x)\), e a partir de aquí podería haber diferentes casos:

CASO 1: o denominador só ten raíces reais simples
CASO 2: o denominador só ten raíces reais, pero algunha é múltiple
CASO 3: o denominador ten raíces complexas

O CASO 3 non o analizaremos este curso. Vexamos que pasa cos outros dous.

CASO 1: O denominador só ten raíces reais simples

Supoñamos que estas raíces son \(\displaystyle x_1, x_2, ..., x_n\). Entón \(\displaystyle q(x) = a_0 (x - x_1)(x - x_2)...(x - x_n)\) e podemos escribir:

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{x - x_2} + ... + \frac{A_n}{x - x_n}\)

onde \(\displaystyle A_1, A_2,..., A_n\) son números (no exemplo veremos como calculalos). Polo tanto:

\(\displaystyle \int \frac{p(x)}{q(x)} dx = \int \frac{A_1}{x - x_1} dx + \int \frac{A_2}{x - x_2} dx + ... + \int \frac{A_n}{x - x_n} dx = A_1 \ln(x - x_1) + A_2 \ln(x - x_2) + ... + A_n \ln(x - x_n)\)

Calculemos a integral: \(\displaystyle \int \frac{3x + 2}{2x^3 + 9x^2 + 7x - 6}dx\)

Utilizamos Ruffini para atopar as raíces do denominador. Neste caso temos: \(\displaystyle x_1 = -2, x_2 = -3, x_3 = \frac{1}{2}\)
As tres raíces son reais e distintas entre si, logo: \(\displaystyle 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6 = (x + 2)(x + 3)(2x - 1)\). E teremos que a fracción a podemos expresar do seguinte xeito:
\(\displaystyle \frac{3x + 2}{2x^3 + 9x^2 + 7x - 6} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{2x - 1}\)
Facemos a suma da segunda parte da expresión:
\(\displaystyle \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{2x - 1} = \frac{A(x + 3)(2x - 1) + B(x + 2)(2x - 1) + C(x + 2)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)(2x - 1)}\)
Os dous numeradores teñen que ser iguais: \(\displaystyle 3x + 2 = A(x + 3)(2x - 1) + B(x + 2)(2x - 1) + C(x + 2)(x + 3)\)
Para facer os dous numeradores iguais podemos operar a segunda parte e logo igualar os coeficientes de cada monomio nas dúas partes.
Ou ben, esa igualdade é certa para calquera valor de \(x\). Imos sustituir \(x\) polos valores das raíces e deste xeito conseguiremos os valores dos parámetros \(A, B, C\).
1. Se \(x = -2\). Temos: \(\displaystyle 3 \cdot (-2) + 2 = A(-2 + 3)(2 \cdot (-2) - 1) + B(-2 + 2)(2 \cdot (-2) - 1) + C(-2 + 2)(-2 + 3) \implies -4 = A \cdot (-5) \implies A = \frac{4}{5}\)
2. Se \(x = -3\). Temos: \(\displaystyle 3 \cdot (-3) + 2 = A(-3 + 3)(2 \cdot (-3) - 1) + B(-3 + 2)(2 \cdot (-3) - 1) + C(-3 + 2)(-3 + 3) \implies -7 = B \cdot (-1) \cdot (-7) \implies B = -1\)
3. Se \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\). Temos: \(\displaystyle 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 = A\left(\frac{1}{2} + 3\right)\left(2 \cdot \frac{1}{2} - 1\right) + B\left(\frac{1}{2} + 2\right)\left(2 \cdot \frac{1}{2} - 1\right) + C\left(\frac{1}{2} + 2\right)\left(\frac{1}{2} + 3\right) \implies \frac{7}{2} = C \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2}\implies C = \frac{2}{5}\)
Resolvemos a integral:
\(\displaystyle \int \frac{3x + 2}{2x^3 + 9x^2 + 7x - 6} dx = \int \left(\frac{4/5}{x + 2} + \frac{-1}{x + 3} + \frac{2/5}{2x - 1}\right)dx = \frac{4}{5} \ln |x + 2| - \ln |x + 3| + \frac{1}{5} \ln |2x - 1| + C\)

CASO 2: O denominador só ten raíces reais, pero algunha é múltiple

Supoñamos que \(x_1\) é unha raíz múltiple de orden \(k\), o que significa que na descomposición de \(q(x)\) aparecerá \(\displaystyle (x - x_1)^k\).

De xeito similar a como fixemos no caso 1, faremos unha descomposición en suma de fraccións. A raíz \(x_1\) dará orixe a suma de fraccións: \(\displaystyle \frac{A_1}{(x - x_1)^k} + \frac{A_2}{(x - x_1)^{k-1}} + ... + \frac{A_k}{x - x_1}\), onde \(A_1, A_2, ..., A_k\) son números (no exemplo veremos como calculalos). Polo tanto:

\(\displaystyle \int \frac{A_1}{(x - x_1)^k} dx + \int \frac{A_2}{(x - x_1)^{k-1}} dx + ... + \int \frac{A_k}{x - x_1} dx = \frac{A_1}{-k + 1}(x - x_1)^{-k + 1} + \frac{A_2}{-k + 2}(x - x_1)^{-k + 2} + ... + A_k \ln |x - x_1| + C\)

Calculemos a integral: \(\displaystyle \int \frac{1}{x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2}dx\)

Utilizamos Ruffini para atopar as raíces do denominador. Neste caso temos: \(\displaystyle x_1 = 1, x_2 = -2\) sendo \(x_1\) unha raíz triple.
O denominador sería: \(\displaystyle x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2 = (x - 1)^3(x + 2)\). E teremos que a fracción a podemos expresar do seguinte xeito:
\(\displaystyle \frac{1}{x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2} = \frac{A}{(x - 1)^3} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{x + 2}\)
Facemos a suma da segunda parte da expresión:
\(\displaystyle \frac{A}{(x - 1)^3} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{x + 2}= \frac{A(x + 2) + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)^2(x + 2) + D(x - 1)^3}{(x - 1)^3(x + 2)}\)
Os dous numeradores teñen que ser iguais: \(\displaystyle 1 = A(x + 2) + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)^2(x + 2) + D(x - 1)^3\)
Para facer os dous numeradores iguais podemos operar a segunda parte e logo igualar os coeficientes de cada monomio nas dúas partes.
Ou ben, esa igualdade é certa para calquera valor de \(x\). Imos sustituir \(x\) polos valores das raíces e outro par de valores, e deste xeito conseguiremos os valores dos parámetros \(A, B, C\).
1. Se \(x = -2\). Temos: \(\displaystyle 1 = A(-2 + 2) + B(-2 - 1)(-2 + 2) + C(-2 - 1)^2(-2 + 2) + D(-2 - 1)^3 \implies 1 = D \cdot (-27) \implies D = -\frac{1}{27}\)
2. Se \(x = 1\). Temos: \(\displaystyle 1 = A(1 + 2) + B(1 - 1)(1 + 2) + C(1 - 1)^2(1 + 2) + D(1 - 1)^3 \implies 1 = A \cdot 3 \implies A = \frac{1}{3}\)
3. Se \(x = 0\) (escollemos un valor co que pense que as contas non se complican). Temos: \(\displaystyle 1 = A(0 + 2) + B(0 - 1)(0 + 2) + C(0 - 1)^2(0 + 2) + D(0 - 1)^3 \implies 1 = 2A - 2B + 2C - D \)
4. Se \(x = 2\) (escollemos un valor co que pense que as contas non se complican). Temos: \(\displaystyle 1 = A(2 + 2) + B(2 - 1)(2 + 2) + C(2 - 1)^2(2 + 2) + D(2 - 1)^3 \implies 1 = 4A + 4B + 4C + D \)
5. Nas dúas expresións que quedan \(\displaystyle 1 = 2A - 2B + 2C - D\) e \(\displaystyle 1 = 4A + 4B + 4C + D \), sustituimos os valores calculados para \(A\) e \(D\) e queda un sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas (\(B, C\)). Ao resolvelo, obtemos, \(\displaystyle B = -\frac{1}{9}, C = \frac{1}{27}\)
Resolvemos a integral:
\(\displaystyle \int \frac{1}{x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2}dx = \int \left( \frac{1/3}{(x - 1)^3} + \frac{-1/9}{(x - 1)^2} + \frac{1/27}{x - 1} + \frac{-1/27}{x + 2}\right)dx = \)
\(\displaystyle = -\frac{1}{6(x - 1)^2} + \frac{1}{9(x - 1)} + \frac{1}{27} \ln (x - 1) - \frac{1}{27} \ln (x + 2) + C = \frac{2x - 5}{18(x - 1)^2} + \frac{\ln (x - 1)}{27} - \frac{\ln (x + 2)}{27} + C\)