Método de Gauss | Matemáticas II

O método de Gauss consiste na construción dun sistema equivalente ao inicial, pero escalonado. Para elo triangularemos a matriz ampliada asociada ao sistema.

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} x + y + z & = & 3 \\ x - 2y + 3z & = & 2 \\ 2x + y - 2z & = & 1 \end{array} \right. \implies A^* = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \]

\[\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \xrightarrow[F_3 - 2F_1]{F_2 - F_1} \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & -1 & -4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ -5 \end{matrix} \right) \xrightarrow{3F_3 - F_2} \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & -14 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ -14 \end{matrix} \right) \]

Como acabar... Opción 1

Unha vez triangulada, volvemos a expresar como un sistema de ecuacións e resolvemos:

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ -3y + 2z & = & -1 \\ -14z & = & -14 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ -3y + 2z & = & -1 \\ z & = & \frac{-14}{-14} = 1 \end{array} \right.\implies \left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ -3y + 2 \cdot 1 & = & -1 \implies y = 1 \\ z & = & 1 \end{array} \right. \]

\[ \implies \left\{ \begin{array}{rcl} x + 1 + 1 & = & 3 \implies x = 1 \\ y & = & 1 \\ z & = & 1 \end{array} \right.\]

Como acabar... Opción 2

Podemos seguir transformando a matriz, ata chegar a identidade na parte dos coeficiente, cando rematemos, teremos as solucións.
\[\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & -14 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ -14 \end{matrix} \right) \xrightarrow{\frac{-1}{14}F_3} \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) \xrightarrow[F_2 - 2F_3]{F_1 - F_3} \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \xrightarrow{3F_1 + F_2} \left( \begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \xrightarrow[\frac{1}{3}F_1]{\frac{-1}{3}F_3} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \]

\[\implies \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 1 \\ y & = & 1 \\ z & = & 1 \end{array} \right.\]

Sistema incompatible

Ao resolver polo método de Gauss, ocorrerá que unha fila sexa todo ceros agás o termo independente.

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} x + y + z & = & 2 \\ x - y + 2z & = & 3 \\ 3x + y + 4z & = & -1 \end{array} \right. \implies A^* = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \]

\[ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \xrightarrow[F_3 - 3F_1]{F_2 - F_1} \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -7 \end{matrix} \right) \xrightarrow{F_3 - F_2} \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -8 \end{matrix} \right)\]

O sistema é incompatible, non ten solución.

Sistema compatible indeterminado

Ao resolver polo método de Gauss, ocorrerá que unha fila sexa todo ceros. Asignámoslle á variable desa fila un parámetro e expresamos as outras segundo este parámetro.

\[ \left\{ \begin{array}{lcl} x - y + 3z & = & 4 \\ 2x - y - z & = & 6 \\ 3x - 2y + 2z & = & 10 \end{array} \right. \implies A^* = \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & -2 & -2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 10 \end{matrix} \right) \]

\[ \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & -2 & -2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 10 \end{matrix} \right) \xrightarrow[F_3 - 3F_1]{F_2 - 2F_1} \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -7 \\ 0 & 1 & -7 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ -2 \end{matrix} \right) \xrightarrow{F_3 - F_2} \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right)\]

O sistema é compatible indeterminado. Asignámoslle a terceira incógnita un parámetro e expresamos as outras dúas en función desa:

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} x - y + 3z & = & 4 \\ y - 7z & = & -2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 4 - 3\lambda + y \implies x = 4 - 3\lambda - 2 + 7\lambda = 2 +4\lambda \\ y & = & -2 + 7\lambda \\ z & = & \lambda \end{array} \right.\]