Ordinaria 2025
Responda as dúas cuestións seguintes:
a) Se \(A = \left(\begin{matrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right) \) ache \( \alpha, \beta \in \mathbb{R}\) tales que \(A^2 + \alpha A + \beta I = 0\), onde \(I\) e \(0\) son as matrices identidade e cero, respectivamente.
b) Calcule a matriz cadrada \(X\) tal que \(XA = B\), se \(A = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right) \) e \(B = \left(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right) \). Son iguais \(XA\) e \(AX\)?
Solución
a) Calculamos \(A^2\):
\(A^2 = \left(\begin{matrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \\ \end{matrix} \right)\)
Logo a expresión que temos é:
\(\left(\begin{matrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \\ \end{matrix} \right) + \alpha \left(\begin{matrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right) + \beta \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\)
\(\left(\begin{matrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \\ \end{matrix} \right) + \left(\begin{matrix} 2\alpha & 5\alpha \\ 2\alpha & -\alpha \\ \end{matrix} \right) + \left(\begin{matrix} \beta & 0 \\ 0 & \beta \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\)
\(\left(\begin{matrix} 14 + 2\alpha + \beta & 5 + 5\alpha \\ 2 + 2\alpha & 11 - \alpha + \beta \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\)
Igualando os elementos das matrices temos que \(\alpha = - 1\) e \(\beta = -12\)
b) Resolvemos a ecuación matricial: \(XA = B \implies XAA^{-1} = BA^{-1} \implies X = BA^{-1}\)
Temos que \(|A| = 1\), logo existe matriz inversa. A calculamos cos menores e temos que:
\(A^{-1} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right) \)
Logo:
\(X = \left(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \)
Respondendo á pregunta: son iguais \(XA\) e \(AX\). En principio non o son xa que a conmutatividade no producto de matrices non se cumpre, pero podemos comprobalo. Por un lado \(XA = B\)
\(AX = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right) \)
Polo tanto, non son iguais \(XA\) e \(AX\).
Extraordinaria 2025
Dadas as matrices \(A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & k \\ \end{matrix} \right) \) e \(B = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \)
a) Que condición ten que cumprir \(k\) para que \(A\) sexa invertible? Calcule \(A^{-1}\) cando sexa posible.
b) Para \(k = 0\), calcule a matriz \(X\) que satisfai a igualdade \(AX - A = B^2 + A^T\) sendo \(A^T\) a trasposta de \(A\).
Solución
a) A matriz ten inversa se o determinante é distinto de 0.
\[ \mid A \mid = 4k + 2 - 1 - 4k = 1 \neq 0\]
A é invertible para calquera valor de \(k\).
\(\displaystyle A^{-1} = \frac{(Adj(A))^t}{\mid A \mid}\)
\(Adj(A) = \left( \begin{matrix} 4k - 1 & -(2k - 1) & -2 \\ -2k & k & -(-1) \\ 2 & -1 & k \\ \end{matrix} \right) \)
\(A^{-1} = \left( \begin{matrix} 4k - 1 & -2k & 2 \\ 1 - 2k & k & -1 \\ -2 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \)
b) Resolvemos a ecuación matricial: \(AX - A = B^2 + A^T \implies AX = B^2 + A^T + A\)
\(B^2 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\)
\(AX = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 9 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right)\)
\(A^{-1}AX = A^{-1} \left( \begin{matrix} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 9 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right) \implies X = \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 9 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\)