O erro da estimación é a diferencia, en valor absoluto, entre a media da mostra e a media da poboación, é dicir, \(E = |\overline{x} - \mu|\). En consecuencia, nos intervalos de confianza ven dado polo valor no que nos desviamos do valor central:
- Erro para a estimación da media: \(\displaystyle E = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}\)
- Erro para a estimación da proporción: \(\displaystyle E = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} z_{\alpha/2}\)
Con estas expresións podemos despexar \(n\) e calcular o tamaño mínimo da mostra para ter un determinado erro máximo.
Calcular erro
Para 100 familias elexidias ao chou se calcula que teñen a televisión acendida 282 minutos diarios, cunha desviación típica de 60 minutos. Para unha fiabilidade do 95%, que erro asumes cando das por bo o dato?
Temos que \(\displaystyle \sigma = 60, n = 100, 1 - \alpha = 0,95 \implies z_{\alpha/2} = 1,96\), polo tanto o erro é de \(\displaystyle E = \frac{60}{\sqrt{100}} \cdot 1,96 = 11,76\).
Logo hai un erro de 11,76 minutos.
Calcular tamaño da mostra
Para o exercicio anterior, se queremos reducir o erro a metade, sen modificar o nivel de confianza, de que tamaño ten que ser a mostra?
O erro era de 11,76 minutos, a metade é 5,88 minutos. Entón temos \(\displaystyle E = 5,88 = \frac{60}{\sqrt{n}} \cdot 1,96 \implies \frac{5,88}{1,96} = \frac{60}{\sqrt{n}} \implies 3 = \frac{60}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{60}{3} \implies \sqrt{n} = 20 \implies n = 20^2 = 400\)
Hai que tomar unha mostra de polo menos 400 familias para reducir o erro a 5,88 minutos.
Calcular nivel de confianza
Agora supoñemos que no mesmo problema temos unha mostra de 225 familias e se comete un erro de 8 minutos. Con que nivel de confianza fíxose a estimación? (Recorda que \(\sigma = 60\))
Neste caso temos \(\displaystyle E = 8 = \frac{60}{\sqrt{225}} \cdot z_{\alpha/2} \implies 8 = 4 \cdot z_{\alpha/2} \implies 2 = z_{\alpha/2}\).
Chegado este punto temos que desfacer o camiño que habitualmente facemos para o intervalo de confianza:
Temos que \(\displaystyle z_{\alpha/2} = 2\), logo \(\displaystyle P(Z < 2) = 0,9772 \implies \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9772 = 0,0228 \implies \alpha = 0,0456 \implies 1 - \alpha = 0,9544\).
A estimación fíxose cun nivel de confianza do 95,44%.