... E agora que?

Extraordinaria 2023

O salario (en €) dos traballadores dunha empresa distribúese normalmente con desviación típica \(\sigma = 300\) €. Preguntouse a 36 traballadores elixidos ó chou, e estableceuse que o salario medio dos traballadores da empresa oscila entre 1552 € e 1748 €.

a) (TEMA SEGUINTE)

b) Se o salario medio dos traballadores da empresa é \(\mu = 1650\) €, cal é a probabilidade de que o salario medio de mostras de 36 traballadores sexa superior a 1590 €?

Solución

A media mostral vai seguir unha distribución normal \(\displaystyle N\left(1650, \frac{300}{\sqrt{36}}\right) = N(1650, 50)\)

b) \(\displaystyle P(\overline{X} > 1590) = P\left(\frac{\overline{X} - 1650}{50} > \frac{1590 - 1650}{50}\right) = P(Z > -1,2) = P(Z < 1,2) = 0,8849\)

A probabilidade de obter un salario medio superior a 1590 é do 88,49%.

Extraordinaria 2021

O peso das laranxas para zume recolectadas por un produtor é unha variable aleatoria que se distribúe normalmente cunha media de \(\mu = \) 200 gramos e unha desviación típica de \(\sigma = \) 50 gramos.

a) Se tomamos unha mostra aleatoria de \(n = 25\) laranxas, ¿cal é a probabilidade de que o seu peso medio estea comprendido entre 175 e 215 gramos?

b) De que tamaño se tomou outra mostra aleatoria se a probabilidade de que o peso medio sexa inferior a 210 gramos é do 97.72%?

Solución

A media vai seguir unha distribución normal \(\displaystyle N\left(200, \frac{50}{\sqrt{25}}\right) = N(200, 10)\)

a) \(\displaystyle P(175 < \overline{X} < 215) = P\left(\frac{175 - 200}{10} < \frac{\overline{X} - 200}{10} < \frac{215 - 200}{10}\right) = P(-2,5 < Z < 1,5) = P(Z < 1,5) - P(Z < -2,5) =\)

    \(\displaystyle = P(Z < 1,5) - P(Z > 2,5) = P(Z < 1,5) - (1 - P(Z < 2,5)) = 0,9332 - 1 + 0,9938 = 0,927\)

    O peso medio estará entre 175 e 215 gramos cunha probabilidade do 92,7%.

b) Agora sabemos que \(\displaystyle P(\overline{x} < 210) = 0,9772\). Temos que calcular \(n\), sabendo que a media segue unha distribución \(\displaystyle N\left(200, \frac{50}{\sqrt{n}}\right)\).

   \(\displaystyle P(\overline{x} < 210) = P\left(\frac{\overline{x} - 200}{\frac{50}{\sqrt{n}}} < \frac{210 - 200}{\frac{50}{\sqrt{n}}}\right) = P\left(Z < \frac{\sqrt{n}}{5}\right) = 0,9772\).

   Observando na táboa temos que \(\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{5} = 2 \implies \sqrt{n} = 10 \implies n = 100\)

   A mostra debe ser de 100 laranxas.