Unha primitiva dunha función \(f(x)\) é unha función, \(F(x)\), cuia derivada é \(f(x)\).
Unha primitiva da función \(f(x) = 3x^2\) é \(F(x) = x^3\) porque \(F'(x) = f(x)\). PERO non é a única primitiva, xa que \(F(x) = x^3 + 1\) tamén cumpre \(F'(x) = f(x)\).
Logo:
A integral indefinida dunha función é o conxunto de todas as súas primitivas. Escríbese \( \displaystyle \int f(x) dx\).
O símbolo \(\displaystyle \int\) é o símbolo da integral indefinida e \(dx\) indica que \(x\) é a variable respecto á que se integra, esto significa que se hai varias variables, todas as que non son \(x\) considéranse constantes.
\[\displaystyle \int f(x) dx = \{F(x) / F'(x) = f(x)\} = F(x) + C \hspace{2 cm} \forall C \in \mathbb{R}\]
No exemplo que vimos da primitiva, teríamos: \( \displaystyle \int 3x^2 dx = x^3 + C\)
\( \displaystyle \int dx = x + C\)
\( \displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\), para \(n \neq -1\)
\( \displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln \mid x \mid + C\)
\( \displaystyle \int e^x dx = e^x + C\)
\( \displaystyle \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
\( \displaystyle \int \sin x dx = -\cos x + C\)
\( \displaystyle \int \cos x dx = \sin x + C\)
\( \displaystyle \int \tan x dx = -\ln (\cos x) + C\)
\( \displaystyle \int \left(1 + \tan^2 x \right) dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C\)
\( \displaystyle \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C\)
\( \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C\)
\( \displaystyle \int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arccos x + C\)
As integrais cumpren a seguintes propiedades:
Ollo, as propiedades son as indicadas, non se poden estender ao produto ou división de funcións, \( \displaystyle \int \left[f(x) \cdot g(x)\right] dx \neq \int f(x) dx \cdot \int g(x) dx \) ou \( \displaystyle \int \frac{f(x)}{g(x)} dx \neq \frac{\int f(x) dx}{\int g(x) dx}\).
Hai integrais que podemos resolver de xeito inmediato, inda que as funcións que temos que integrar non son elementais. Estes casos aparecen cando nas integrais inmediatas en lugar da \(x\) temos unha \(f(x)\) e temos, ou podemos ter operando con números, \(f'(x)\) multiplicando a esa función dentro da parte a integrar.
Esto quere dicir que:
\[\displaystyle \int \left[f(x)\right]^n f'(x) dx = \frac{\left[f(x)\right]^{n+1}}{n + 1} + C \]
\[\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln\left| f(x) \right| + C \]
\[\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)}dx = e^{f(x)} + C\]
\[\displaystyle \int f'(x) \cdot a^{f(x)}dx = \frac{a^{f(x)}}{\ln a} + C\]
\[ \displaystyle \int (\sin f(x)) f'(x) dx = -\cos f(x) + C\]
\[ \displaystyle \int (\cos f(x)) f'(x) dx = \sin f(x) + C\]
\[ \displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - (f(x))^2}} dx = \arcsin f(x) + C = - \arccos f(x) + C\]
\[ \displaystyle \int \frac{f'(x)}{1 + (f(x))^2} dx = \arctan f(x) + C\]
Por exemplo: \(\displaystyle \int \left(3x^5 - x^3 + 5x^2 - 1\right)^5\left(15x^4 - 3x^2 + 10x\right) dx = \frac{\left(3x^5 - x^3 + 5x^2 - 1\right)^6}{6} + C\)
\(\displaystyle \int \frac{6}{3x + 1} dx = \int \frac{2 \cdot 3}{3x + 1} dx = 2 \int \frac{3}{3x + 1} dx = 2 \ln (3x + 1) + C\)
\(\displaystyle \int x\sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}\int 2x\sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}\int 2x (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \frac{(x^2 + 1)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{2} \frac{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{\sqrt{(x^2 + 1)^3}}{3} + C\)
Neste documento podes atopar algunhas expresións trigonométricas que poden axudar no cálculo de primitivas.
Licenciado baixo a Licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 4.0