Optimización | Matemáticas II

Hai infinidade de situacións que teñen un contexto (social, económico, sanitario,...) no que estas puideronse modelizar e temos unha función que permite saber o seu comportamento. Nestas situacións xorden problemas nos que interesa saber cal é o máximo ou o mínimo da función, para isto aplicaremos os coñecementos previos sobre o comportamento das funcións respecto aos máximo, mínimos, crecemento e decrecemento.

Dado o problema imos fixarnos:

1.- Localizar a variable ou variables do problema.

2.- Establecer a función f na que hai que optimizar atendendo a unha única variable.

3.- Indicar o intervalo no que está a variable no noso problema.

4.- Atopas os máximos ou mínimos da función f no intervalo indicado.

5.- Comprobar que os resultados teñen sentido.

O beneficio semanal, en centos de euros, obtido nunha empresa de ordenadores ven dado pola función \(B(x) = -2x^2 + 24x - 36\) onde \(x\) representa o número de ordenadores vendidos semanalmente. Calcula o número de ordenadores vendidos cada semana para que o beneficio sexa máximo. Cal é este beneficio máximo?

Solución

A nosa variable \(x\) é o número de ordenadores. A función ven dada no enunciado: \(B(x) = -2x^2 + 24x - 36\). E o intervalo no que está definida a variable neste caso son os números positivos.

Calculamos os extremos da función, para elo calculamos a función derivada: \(B'(x) = -4x + 24\). Os posibles extremos son \(-4x + 24 = 0 \implies x = 6\).

Analizamos o signo da función:

se \(x < 6\), entón \(B'(x) > 0\), logo a función é crecente
se \(x > 6\), entón \(B'(x) < 0\), logo a función é decrecente.

A función pasa de crecente a decrecente en \(x = 6\), polo que ten un máximo nese punto.

É dicir, o beneficio é máximo cando se venden 6 ordenadores.

O beneficio ven dado pola función, logo \(B(6) = -2 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 - 36 = 36\). Como di que a función é en centos de euros, debemos multiplicar o resultado por 100, polo que o beneficio máximo será 3600 euros.