Inversa dunha matriz

Dada unha matriz cadrada con determinante distinto de 0, a matriz inversa de A, que se expresa como A^-1, é unha matriz tal que A · A^-1 = A^-1 · A = I.

Unha matriz cadrada A de orde n ten inversa se, e só se, o seu rango é máximo, é dicir: A ten inversa ⇔ rg A = n

Chámase matriz singular a aquela que non ten inversa, é dicir, unha matriz con determinante 0.

Cálculo da matriz inversa polo método de Gauss

Escríbese a matriz identidade á dereita da matriz orixinal (A|I).
Transfórmase a matriz orixinal na matriz identidade utilizando operacións elementais por filas (intercambiar filas, multiplicar filas por un número, facer combinacións lineais de filas).
Unha vez que teñamos a matriz identidade á esquerda, o que queda á dereita é a matriz inversa da orixinal (I|A^-1).

Dada a matriz \( \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix}\right) \) calculamos a súa inversa.

Comprobamos que non é unha matriz singular e que podemos calcular a inversa: det(A) = 8 ≠ 0. Ten inversa.

\[\left(\begin{matrix} 1 & 2 & \\ -1 & 6 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \xrightarrow{F_2 + F_1} \left(\begin{matrix} 1 & 2 & \\ 0 & 8 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right) \xrightarrow{4F_1 - F_2} \left(\begin{matrix} 4 & 0 & \\ 0 & 8 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right) \xrightarrow{\frac{1}{4}F_1, \frac{1}{8}F_2} \left(\begin{matrix} 1 & 0 & \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{-1}{4} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{matrix}\right)\]

\[A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{-1}{4} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{matrix}\right) \]

Comprobámolo:

\[ A \cdot A^{-1} = \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{-1}{4} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right)\]

Cálculo da matriz inversa coa matriz adxunta

A matriz inversa pódese calcular usando a seguinte expresión:

\[ A^{-1} = \frac{\left(Adj(A)\right)^t}{|A|}\]

A matriz adxunta é a que está composta por cada un dos adxuntos dos elementos: \( Adj(A) = \left(\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & ... & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & ... & A_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ A_{n1} & A_{n2} & ... & A_{nn} \\ \end{matrix}\right) \)

Dada a matriz \( \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix}\right) \) calculamos a súa inversa.

É a mesma que no exemplo anterior, logo xa sabemos que ten inversa, pero de non sabelo comprobaríamos que non é unha matriz singular calculando o determinante: det(A) = 8 ≠ 0. Ten inversa.

\[\left(\begin{matrix} 1 & 2 & \\ -1 & 6 \end{matrix} \right) \hspace{36pt} Adj(A) = \left(\begin{matrix} 6 & 1 & \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) \hspace{36pt} Adj(A)^t = \left(\begin{matrix} 6 & -2 & \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \hspace{36pt} \frac{\left(Adj(A)\right)^t}{|A|} = \left(\begin{matrix} \frac{6}{8} & \frac{-2}{8} & \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{matrix} \right) \]

Simplificando as fraccións, vemos que coincide coa matriz que obtivemos no exemplo anterior:

\[A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{-1}{4} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{matrix}\right) \]

Algunhas propiedades da matriz inversa son:

\( \left(A^n\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^n\)
\(\left(A \cdot B \right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}\)
\( \left(A^t\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^t\)

Licenciado baixo a Licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 4.0