Extraordinaria 2025
Responda as dúas cuestións seguintes:
3.1.1. (TEMA REPRESENTACIÓN DE FUNCIÓNS)
3.1.2. Calcule \(\displaystyle \int e^x \cos 3x dx\).
Solución
3.1.2. \(\displaystyle \int e^x \cos 3x dx\)
Trátase da integral dun producto, as funcións que se multiplican non están relacionadas entre sí, logo non resolvemos coas cuasiinmediatas ou cun cambio de variable. Imos resolver por partes:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{cc} u = e^x & du = e^x dx \\ dv = \cos 3x dx & v = \frac{\sin 3x}{3} \end{array}\right.\)
\(\displaystyle \int e^x \cos 3x dx = e^x \frac{\sin 3x}{3} - \int e^x \frac{\sin 3x}{3} dx = \frac{1}{3} \left(e^x \sin 3x - \int e^x \sin 3x dx\right) \)
Aplicamos de novo o método de integración por partes a integral que nos aparece:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{cc} u = e^x & du = e^x dx \\ dv = \sin 3x dx & v = \frac{-\cos 3x}{3} \end{array}\right.\)
\(\displaystyle \int e^x \cos 3x dx = \frac{1}{3} \left(e^x \sin 3x - \int e^x \sin 3x dx \right) = \frac{1}{3} \left(e^x \sin 3x - \left( e^x \frac{-\cos 3x}{3} - \int e^x \frac{-\cos 3x}{3} dx\right) \right) = \)
\(\displaystyle = \frac{1}{3} e^x \sin 3x + \frac{1}{9} e^x \cos 3x - \frac{1}{9}\int e^x \cos 3x dx \)
Volvemos ter a integral que tiñamos inicialmente, logo reorganizamos a igualdade:
\(\displaystyle \int e^x \cos 3x dx + \frac{1}{9}\int e^x \cos 3x dx = \frac{1}{3} e^x \sin 3x + \frac{1}{9} e^x \cos 3x \implies\)
\(\displaystyle \implies \frac{10}{9}\int e^x \cos 3x dx = \frac{1}{3} e^x \sin 3x + \frac{1}{9} e^x \cos 3x + C \implies \int e^x \cos 3x dx = \frac{9}{10} \left(\frac{1}{3} e^x \sin 3x + \frac{1}{9} e^x \cos 3x \right) + C = \frac{3}{10} e^x \sin 3x + \frac{1}{10} e^x \cos 3x\)