Extraordinaria 2025
Responda as dúas cuestións seguintes:
a) Enuncie o teorema do valor medio do cálculo diferencial.
b) (TEMA INTEGRAIS)
Solución
a) Teorema do valor medio do cálculo diferencial: Se \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) é continua en \([a, b]\) e derivable en \((a, b)\), entón existe algún \(c \in (a, b)\) tal que \(f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\).
Modelo 2025
Responda os dous subapartados seguintes:
a) Enuncie os teoremas de Rolle e do valor medio do cálculo diferencial.
b) Explique se \(f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{1 - x^2}\), está ou non nas hipóteses do teorema do valor medio do cálculo diferencial. En caso de que o estea, calcule un valor 𝑐 para o cal se cumpra a tese dese teorema.
Solución
Teorema de Rolle: Se \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) é continua en \([a, b]\) e derivable en \((a, b)\) e tal que \(f(a) = f(b)\), entón existe algún \(c \in (a, b)\), tal que \(f'(c) = 0\).
Teorema do valor medio do cálculo diferencial: Se \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) é continua en \([a, b]\) e derivable en \((a, b)\), entón existe algún \(c \in (a, b)\) tal que \(f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\).
A función \(f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{1 - x^2}\) é continua no intervalo \([0,1]\) xa que se trata dun radical que vai ser sempre positivo.
\(f'(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\) que é derivable no intervalo aberto \((0,1)\).
Polo tanto estamos nas hipóteses do teorema do valor medio do cálculo diferencial. Polo que existirá \(c \in (0,1)\) tal que \(f(1) - f(0) = f'(c) (1 - 0)\), é dicir, \(0 - 1 = f'(c) \implies f'(c) = \frac{-c}{\sqrt{1 - c^2}} = -1\)
\(\frac{-c}{\sqrt{1 - c^2}} = -1 \implies c = \sqrt{1 - c^2} \implies c^2 = 1 - c^2 \implies 2c^2 = 1 \implies c = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
No intervalo \((0,1)\) so está \(c = \frac{\sqrt{2}}{2}\), que como estabamos a resolver unha ecuación con radicais, comprobamos que efectivamente é solución da ecuación inicial:
\(\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}} = -1 \implies \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1 - \frac{2}{4}}} = -1 \implies \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = -1\), que racionalizando o denominador temos que efectivamente é certo.
Polo tanto o valor de \(c\) buscado é \(c= \frac{\sqrt{2}}{2}\).