Os valores do límite tamén poden ser \(+\infty\) ou \(-\infty\).
Exemplo
Sexa \(f(x) = \frac{4}{x + 3}\) e imos analizar os límites laterais en \(x = -3\).
Límite pola esquerda:
| \(x\) |
-3,5 |
-3,1 |
-3,01 |
-3,001 |
... |
\(x \to -3\) |
| \(f(x)\) |
-8 |
-40 |
-400 |
-4000 |
... |
\(-\infty\) |
Límite pola dereita:
| \(x\) |
-2,5 |
-2,9 |
-2,99 |
-2,999 |
... |
\(x \to -3\) |
| \(f(x)\) |
8 |
40 |
400 |
4000 |
... |
\(+\infty\) |
Vemos que neste caso o valor da función ben crece indefinidamente, ou decrece do mesmo xeito.
Operacións con límites de funcións:
Suma e resta: \(\lim\limits_{x \to ...} \left[f(x) \pm g(x)\right] = \lim\limits_{x \to ...} f(x) \pm \lim\limits_{x \to ...} g(x)\)
Produto: \(\lim\limits_{x \to ...} \left[f(x) \cdot g(x)\right] = \lim\limits_{x \to ...} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to ...} g(x)\)
Produto por un escalar: \(\lim\limits_{x \to ...} \left[k \cdot f(x)\right] = k \cdot \lim\limits_{x \to ...} f(x)\)
Cociente: \(\lim\limits_{x \to ...} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to ...} f(x)}{\lim\limits_{x \to ...} g(x)}\)
Potencia: \(\lim\limits_{x \to ...} \left[f(x)^{g(x)}\right] = \lim\limits_{x \to ...} f(x)^{\lim\limits_{x \to ...} g(x)}\)
Constante: \(\lim\limits_{x \to ...} k = k\)
Operacións co infinito:
Sumas e restas
• \(\infty \pm n = \infty\)
• \(-\infty \pm n = -\infty\)
• \(\infty + \infty = \infty\)
• \(-\infty - \infty = -\infty\)
• \(\infty - \infty =\) INDETERMINACIÓN
• \(-\infty + \infty =\) INDETERMINACIÓN
Productos
• \((\pm\infty) \cdot n = \pm\infty\) con \(n > 0\)
• \((\pm\infty) \cdot n = \mp\infty\) con \(n < 0\)
• \((\pm\infty) \cdot 0 =\) INDETERMINACIÓN
• \((\pm\infty) \cdot (\pm\infty) = \pm\infty\)
• \((\pm\infty) \cdot (\mp\infty) = \mp\infty\)
Cocientes
• \(\frac{\pm\infty}{n} = \pm\infty\) con \(n > 0\)
• \(\frac{\pm\infty}{n} = \mp\infty\) con \(n < 0\)
• \(\frac{\pm\infty}{0} = \pm\infty\)
• \(\frac{\infty}{\infty} =\) INDETERMINACIÓN
• \(\frac{n}{\pm\infty} = 0\)
• \(\frac{n}{0} = \pm\infty\)
• \(\frac{0}{n} = 0\) con \(n \neq 0\)
• \(\frac{0}{0} =\) INDETERMINACIÓN
• \(\frac{0}{\infty} = 0\)
• \((\pm\infty) \cdot (\mp\infty) = \mp\infty\)
Potencias e raíces
• \(\left(\pm\infty\right)^n = \pm\infty\)
• \(\sqrt[n]{\infty} = \infty\)
• \(\sqrt[n]{-\infty} = \nexists\) con \(n\) par
• \(\sqrt[n]{-\infty} = -\infty\) con \(n\) impar
• \(n^{\infty} = \infty\); con \(n > 1\)
• \(n^{\infty} = 0\); con \(0 < n < 1\)
• \(0^{\infty} = 0\)
• \(1^{\infty} =\) INDETERMINACIÓN
• \(\infty^{\infty} = \infty\)
• \(0^{0} =\) INDETERMINACIÓN
• \(\infty^{0} =\) INDETERMINACIÓN