Como vimos dado un sistema o podemos expresar de xeito matricial como \(AX = B\), polo tanto, se a matriz \(A\) ten inversa, temos que:
\[A \cdot X = B \implies X = A^{-1} \cdot B\]
Matemáticas II
Resolución por matriz inversa
Dado o sistema: \( \left\{ \begin{array}{lcl} x + 2 y & = & 1 \\ x + 3y & = & 0 \end{array} \right. \) o imos resolver utilizando a matriz inversa.
A expresión matricial do sistema é:
\[ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right) \]
O determinante da matriz \(A\) é \(|A| = 1 \neq 0\), polo tanto ten inversa e podemos resolver o sistema utilizando a matriz inversa.
Calculamos a matriz inversa: \( A^{-1} = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \). E agora calculamos \(X\):
\[ X = A^{-1}B \implies \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right) \implies \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix}\right) \]
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