Para representar unha función imos seguir unha serie de pasos que permitirán ter unha idea aproximada de como é a función e polo tanto facilitará a súa representación.
Dominio
Indicar os puntos para os que está definida a función.
Temos que ter algunhas ideas claras:
- As funcións polinómicas están definidas en todo \(\mathbb{R}\).
- Nunha función na que aparece unha fracción, non pertencen ao dominio os puntos que anulan o denominador.
- Nunha función na que aparece radicais de índice par, non pertencen ao dominio os puntos que fan menor que 0 o radicando.
- Nunha función na que aparece un logaritmo, non pertencen ao dominio os puntos que fan 0 ou menor que 0 o argumento.
Continuidade
Co visto no tema anterior analízase en que puntos de \(\mathbb{R}\) a función é continua.
OLLO! Ás veces a función pode ser continua en todo o seu dominio, pero haber unha discontinuidade nalgún punto dos que excluímos do dominio, por exemplo, nas asíntotas. Inda que non sempre teñen que ser asíntotas, por exemplo, pensa no dominio de \(f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x - 2}\) e logo analiza o límite no punto que non está no dominio.
Puntos de corte cos eixes
Punto de corte co eixe \(X\): son os puntos nos que \(y = 0\), para calculalos resolvemos \(f(x) = 0\), e teñen a forma \((x, 0)\).Punto de corte co eixe \(Y\): é o punto no que \(x = 0\), para calculalo resolvemos \(f(0) = y\), e ten a forma \((0, y)\).
Asíntotas
Asíntotas horizontales: se \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = a\) e a asíntota é \(y = a\).
Asíntotas verticales: se \(\lim\limits_{x \to b} f(x) = \infty\) e a asíntota é \(x = b\). (Os puntos para analizar son aqueles que non están definidos no dominio ou teñan algunha característica particular, porque aqueles nos que a función é continua o límite vai ser \(f(b)\).)
Asíntotas oblicuas: se existe e é distinto de 0 o \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = m\), tamén ten que existir e ser distinto de \(\infty\) o \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \left(f(x) - mx\right) = n\) e a asíntota é \(y = mx + n\).
Extremos, crecemento e decrecemento
Calculamos a función derivada.
Se un punto é extremo vaise cumprir \(f'(x) = 0\) Este putos chámanse puntos críticos. (OLLO! Se é extremo a derivada vai ser 0, pero que a derivada sexa 0 non quere dicir que sexa extremo)
Analizamos o signo de \(f'(x)\). Se \(f'(x) > 0\) a función é crecente, se \(f'(x) < 0\) a función é decrecente.
Para saber se os posibles extremos que temos son un máximo ou un mínimo, cando a función pase de crecente a decrecente, o punto será máximo. Cando a función pase de decrecente a crecente, o punto será un mínimo.
Concavidade e convexidade
Calculamos a función derivada segunda (a derivada da derivada).
Se un punto é punto de inflexión vaise cumprir \(f''(x) = 0\). (OLLO! Se é punto de inflexión a derivada segunda vai ser 0, pero que a derivada segunda sexa 0 non quere dicir que sexa punto de inflexión)
Analizamos o signo de \(f''(x)\). Se \(f''(x) > 0\) a función é convexa, se \(f''(x) < 0\) a función é cóncava.
Para saber se os posibles puntos de inflexión son puntos de inflexión debe haber un cambio na curvatura.
