Ordinaria 2023
Nunha mostra aleatoria de 120 empresas inspeccionadas, de entre as visitadas un ano polos inspectores de traballo dunha provincia, sancionouse a 30 delas.
a) Calcule, con un nivel de confianza do 90%, un intervalo de confianza para a proporción de empresas sancionadas pola Inspección de Traballo.
b) Se ignoramos os datos iniciais e cun nivel de confianza do 95%, cal é o tamaño mínimo da mostra necesaria para estimar a proporción de empresas sancionadas cun erro máximo do 2%?
Solución
O intervalo de confianza para a proporción ven dado por \(\displaystyle \left(\hat{p} - \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}, \hat{p} + \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\right)\)
a) Temos os seguintes datos:
- \(\displaystyle \hat{p} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 0,25\)
- \(n = 120\)
- \(\displaystyle 1 - \alpha = 90 \implies \alpha = 0,1 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05 \rightarrow P(Z < z_{\alpha/2}) = 0,95 \implies z_{\alpha/2} = 1,645\)
Polo tanto o intervalo é \(\displaystyle \left(0,25 - \sqrt{\frac{0,25 \cdot 0,75}{120}}, 0,25 + \sqrt{\frac{0,25 \cdot 0,75}{120}}\right) = (0,25 - 0,066, 0,25 + 0,066) = (0,184, 0,316)\)
A proporción de empresas sancionadas estarán entre o 18,4% e o 31,6% cun nivel de confianza do 90%.
b) NOTA ACLARATORIA: neste exercicio ao dicir que non se consideran os datos anteriores e non dar ningunha proporción falta un dato. Eu o faría deixando a resposta en función de \(\hat{p}\), pero no solucionario da ABAU indican "Como \(\hat{p}\) é descoñecido consideramos \(\hat{p} = 0,5\)", o que me parece moito considerar porque non hai nada que indique que debe considerarse que a metade das empresas son sancionadas. Penso que este exercicio ten un erro, que considerar iso de 0,5 se non volo din en alto no exame non é algo que se poida intuír, e ben o anulan o admiten que se considere calquera valor para \(\hat{p}\). De ser vos eu o faría considerando o que din, se inventar ningún dato e se non tedes a puntuación reclamar, porque non poden poñer mal algo que piden que o dato o tedes que inventar.
Miña proposta de solución:
Que erro sexa do 2% quere dicir \(E = 0,02\).
Como o nivel de confianza é do 95% temos \(\displaystyle 1 - \alpha = 0,95 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,025 \rightarrow z_{\alpha/2} = 1,96\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \cdot 1,96 \leq 0,02 \implies \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \leq \frac{0,02}{1,96} \implies \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \leq 0,01 \implies \frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} \leq 0,01^2 \implies \frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{0,0001} \leq n \)
Así segundo o valor de \(\hat{p}\) teremos un tamaño para a mostra, como dividir entre 0,0001 é o mesmo que multiplicar por 10000, polo tanto \(n > 10000 \cdot \hat{p} \cdot (1 - \hat{p})\), é dicir, que se por exemplo, estamos no caso anterior no que \(\hat{p} = 0,25\) e nese caso \(n > 1875\).
Extraordinaria 2023
O salario (en €) dos traballadores dunha empresa distribúese normalmente con desviación típica \(\sigma = 300\) €. Preguntouse a 36 traballadores elixidos ó chou, e estableceuse que o salario medio dos traballadores da empresa oscila entre 1552 € e 1748 €.
a) Cal foi o salario medio dos traballadores da mostra? Con que nivel de confianza se estableceu o intervalo anterior?
b) (TEMA ANTERIOR)
Solución
a) Temos un intervalo de confianza de \(\displaystyle (1552, 1748) = \left(\overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}\right)\). Tendo en conta como se constrúe o intervalo de confianza, a media da mostra é o punto medio do intervalo, polo tanto \(\displaystyle \overline{x} = \frac{1552 + 1748}{2} = 1650\).
O erro neste caso é 1748 - 1650 = 98 (ou o que é o mesmo 1650 - 1552), polo tanto:
\(\displaystyle 98 = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2} = \frac{300}{\sqrt{36}}z_{\alpha/2} \implies 98 = 50z_{\alpha/2} \implies z_{\alpha/2} = \frac{98}{50} = 1,96\)
\(\displaystyle 1 - \frac{\alpha}{2} = 0,975 \implies \alpha = 0,05 \implies 1 - \alpha = 0,95\)
O nivel de confianza que se tivo en conta era o 95%.