Teoremas de probabilidade

O Teorema da Probabilidade Total permítenos calcular a probabilidade dun suceso, $B$, tendo en conta un conxunto de sucesos disxuntos $A_1,A_2,...,A_n$ que forman unha partición do espazo mostral. A probabilidade de $B$ calcúlase sumando as probabilidades de $B$ dentro de cada un dos sucesos $A_i$.

Matematicamente, exprésase como:

$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)\cdot P(B|A_i)$$

onde $P(B|A_i)$ é a probabilidade condicionada de $B$ dado $A_i$.

Exemplo 1

Imaxinemos que temos 3 urnas, $U_1,U_2$ e $U_3$, con 10 bolas cada unha entre brancas e negras. O número de bolas brancas que teñen son 3, 5 e 4, respectivamente. A probabilidade de elixir unha urna é ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ para cada unha. Se queremos calcular a probabilidade de sacar unha bóla branca, $B$, faremos o seguinte:

$P(B|U_1)={\displaystyle \frac{3}{10}}$

$P(B|U_2)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$P(B|U_3)={\displaystyle \frac{2}{5}}$

Usando o teorema da probabilidade total:

$$P(B)=P(U_1)\cdot P(B|U_1)+P(U_2)\cdot P(B|U_2)+P(U_3)\cdot P(B|U_3)$$

$$P(B)=\frac{1}{3}(\frac{3}{10}+\frac{1}{2}+\frac{2}{5})$$

$$P(B)={\displaystyle \frac{1}{5}}$$

Exemplo 2

Imaxina que temos un colexio con tres clases de último ano, $C_1,C_2$ e $C_3$. O número de estudantes en cada clase é 30, 25 e 20 respectivamente. Seleccionamos aleatoriamente un estudante do colexio, e queremos calcular a probabilidade de que este estudante esté matriculado en informática, $I$.
Supoñamos que as probabilidades de que un estudante de cada clase estea matriculado en informática son:

$P(I|C_1)=0.5$
$P(I|C_2)=0.4$
$P(I|C_3)=0.3$

A probabilidade de elixir un estudante de calquera clase é proporcional ao tamaño da clase:

$P(C_1)={\displaystyle \frac{30}{75}}$

$P(C_2)={\displaystyle \frac{25}{75}}$

$P(C_3)={\displaystyle \frac{20}{75}}$

Aplicamos o teorema da probabilidade total para calcular $P(I)$:

$$P(I)=P(C_1)\cdot P(I|C_1)+P(C_2)\cdot P(I|C_2)+P(C_3)\cdot P(I|C_3)$$

$$P(I)=\frac{30}{75}\cdot 0.5+\frac{25}{75}\cdot 0.4+\frac{20}{75}\cdot 0.3$$

$$P(I)=\frac{15}{75}+\frac{10}{75}+\frac{6}{75}$$

$$P(I)=\frac{31}{75}$$