Páxina 30/85

Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

Actividade 1: sucesos

Temos unha baralla española que consta de 40 cartas, divididas en catro paus: ouros, copas, espadas e bastos. Cada pau ten 10 cartas numeradas do 1 ao 7 e tres figuras: sota, cabalo e rei. Sacamos unha carta ao chou da baralla e definimos os sucesos seguintes:

Suceso A: Sacar unha figura (sota, cabalo ou rei).
Suceso B: Sacar unha carta de ouros.

Realiza as seguintes operacións con estes sucesos e describe o resultado:

a) A unión de A e B (A ∪ B)

Solución

A unión de A e B (A ∪ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a polo menos un dos sucesos A ou B?

Se sacamos unha carta que é unha figura ou é unha carta de ouros, teremos un suceso que pertence a A ∪ B. Isto inclúe todas as figuras (sota, cabalo e rei) de todos os paus e todas as cartas do pau de ouros, incluídas as súas figuras.
Se queremos contalas, entón, temos 3 figuras x 4 paus = 12 cartas como figuras e 10 cartas de ouros, das cales 3 xa foron contadas como figuras, polo que engadimos 7 cartas máis. Isto dá un total de 12 + 7 = 19 cartas posibles que cumpren esta condición.

b) A intersección de A e B (A ∩ B)

Solución

A intersección de A e B (A ∩ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a ambos sucesos A e B ao mesmo tempo?

Sacar unha carta que sexa simultaneamente unha figura e de ouros significa que estamos a buscar as figuras específicas do pau de ouros.

Hai 3 cartas que cumpren con esta condición: a sota de ouros, o cabalo de ouros e o rei de ouros.

c) O suceso complementario de A (A')

Solución

O suceso complementario de A (A'): Que sucesos ocorren cando non se saca unha figura?

O suceso complementario de sacar unha figura é sacar unha carta que non sexa figura, isto é, calquera número do 1 ao 7 en calquera dos paus.
Como hai 4 paus e 7 cartas numeradas en cada pau, entón temos 4 x 7 = 28 cartas que son o complementario de sacar unha figura.

d) A diferenza entre A e B (A - B)

Solución

A diferenza entre A e B (A - B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) ao suceso A pero non ao suceso B?

As cartas que pertencen ao suceso A pero non ao suceso B son as figuras que non son de ouros.
Como hai tres figuras en cada pau e catro paus, temos un total de 12 figuras. Se excluímos as tres figuras de ouros, quedamos con 12 - 3 = 9 figuras que non son de ouros. Entón, podes sacar a sota, o cabalo ou o rei de copas, espadas ou bastos.

e) A diferenza simétrica entre A e B (A Δ B)

Solución

A diferenza simétrica entre A e B (A Δ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a A ou B, pero non a ambos ao mesmo tempo?

As cartas que pertencen a A ou a B, pero non a ambos, incluirían as figuras de copas, espadas e bastos (que non son de ouros) e as cartas numéricas de ouros (do 1 ao 7), xa que estas non son figuras.
Entón, temos as 9 figuras que non son de ouros, máis as 7 cartas numéricas de ouros, o que nos dá un total de 9 + 7 = 16 cartas posibles que cumpren esta condición

Actividade 2: operacións con sucesos

Suceso A: Sacar unha figura (sota, cabalo ou rei).
Suceso B: Sacar unha carta de ouros.

Realiza as seguintes operacións con estes sucesos e describe o resultado:

a) A unión de A e B (A ∪ B)

Solución

A unión de A e B (A ∪ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a polo menos un dos sucesos A ou B?

Se sacamos unha carta que é unha figura ou é unha carta de ouros, teremos un suceso que pertence a A ∪ B. Isto inclúe todas as figuras (sota, cabalo e rei) de todos os paus e todas as cartas do pau de ouros, incluídas as súas figuras.
Se queremos contalas, entón, temos 3 figuras x 4 paus = 12 cartas como figuras e 10 cartas de ouros, das cales 3 xa foron contadas como figuras, polo que engadimos 7 cartas máis. Isto dá un total de 12 + 7 = 19 cartas posibles que cumpren esta condición.

b) A intersección de A e B (A ∩ B)

Solución

A intersección de A e B (A ∩ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a ambos sucesos A e B ao mesmo tempo?

Sacar unha carta que sexa simultaneamente unha figura e de ouros significa que estamos a buscar as figuras específicas do pau de ouros.

Hai 3 cartas que cumpren con esta condición: a sota de ouros, o cabalo de ouros e o rei de ouros.

c) O suceso complementario de A (A')

Solución

O suceso complementario de A (A'): Que sucesos ocorren cando non se saca unha figura?

O suceso complementario de sacar unha figura é sacar unha carta que non sexa figura, isto é, calquera número do 1 ao 7 en calquera dos paus.
Como hai 4 paus e 7 cartas numeradas en cada pau, entón temos 4 x 7 = 28 cartas que son o complementario de sacar unha figura.

d) A diferenza entre A e B (A - B)

Solución

A diferenza entre A e B (A - B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) ao suceso A pero non ao suceso B?

As cartas que pertencen ao suceso A pero non ao suceso B son as figuras que non son de ouros.
Como hai tres figuras en cada pau e catro paus, temos un total de 12 figuras. Se excluímos as tres figuras de ouros, quedamos con 12 - 3 = 9 figuras que non son de ouros. Entón, podes sacar a sota, o cabalo ou o rei de copas, espadas ou bastos.

e) A diferenza simétrica entre A e B (A Δ B)

Solución

A diferenza simétrica entre A e B (A Δ B): Que carta(s) podes sacar que pertenza(n) a A ou B, pero non a ambos ao mesmo tempo?

As cartas que pertencen a A ou a B, pero non a ambos, incluirían as figuras de copas, espadas e bastos (que non son de ouros) e as cartas numéricas de ouros (do 1 ao 7), xa que estas non son figuras.
Entón, temos as 9 figuras que non son de ouros, máis as 7 cartas numéricas de ouros, o que nos dá un total de 9 + 7 = 16 cartas posibles que cumpren esta condición

Actividade 3: probabilidade

Na "Feira do Libro de Vigo" hai tres casetas destacadas: caseta de Literatura Galega $L$ , caseta de Poesía $P$ e caseta de Novela Histórica $H$ . Durante unha mañá, rexístranse as visitas dos asistentes á feira e obsérvase que:

O 50% dos asistentes visitan a caseta de Literatura Galega $L$ .
O 30% dos asistentes visitan a caseta de Poesía $P$ .
O 20% dos asistentes visitan a caseta de Novela Histórica $H$ .
O 10% dos asistentes visitan tanto a caseta de Literatura Galega como a de Poesía $L \cap P$ .
O 5% dos asistentes visitan tanto a caseta de Literatura Galega como a de Novela Histórica $L \cap H$ .
O 3% dos asistentes visitan tanto a caseta de Poesía como a de Novela Histórica $P \cap H$ .
O 2% dos asistentes visitan as tres casetas $L \cap P \cap H$ .

Se un asistente é escollido ao azar ao final da mañá, calcular a probabilidade en porcentaxe de que:

a) Visite a caseta de Literatura Galega ou a de Poesía.

Solución

A probabilidade de que un asistente visite a caseta de Literatura Galega ou a de Poesía é a unión de $L$ e $P$ , $L \cup P$ :

$P (L \cup P) = P (L) + P (P) - P (L \cap P)$ $P (L \cup P) = 0.50 + 0.30 - 0.10 = 0.70$

Entón, a probabilidade de que un asistente visite a caseta de Literatura Galega ou a de Poesía é do 70%.

b) Visite a caseta de Poesía pero non a de Novela Histórica.

Solución

A probabilidade de que un asistente visite a caseta de Poesía pero non a de Novela Histórica é a diferenza entre P e H, $P - H$ :

$P (P - H) = P (P) - P (P \cap H)$ $P (P - H) = 0.30 - 0.03 = 0.27$

Así, a probabilidade de que un asistente visite a caseta de Poesía pero non a de Novela Histórica é do 27%.

c) Non visite ningunha das tres casetas.

Solución

A probabilidade de que non visite ningunha das tres casetas é o complementario da unión de $L$ , $P$ e $H$ , $\overset{―}{L \cup P \cup H}$ .

Para calcular a probabilidade de que un asistente non visite ningunha das tres casetas, primeiro atopamos a unión das tres e logo o complementario: $P (L \cup P \cup H) = P (L) + P (P) + P (H) - P (L \cap P) - P (L \cap H) - P (P \cap H) + P (L \cap P \cap H)$ $P (L \cup P \cup H) = 0.50 + 0.30 + 0.20 - 0.10 - 0.05 - 0.03 + 0.02 = 0.84$

A probabilidade do complementario será: $P (e x t n i n g u n h a c a s e t a) = P (e x t a l g u n h a c a s e t a) = \overset{―}{L \cup P \cup H} = 1 - P (L \cup P \cup H)$ $P (e x t n i n g u n h a c a s e t a) = 1 - 0.84 = 0.16$

Entón, a probabilidade de que un asistente non visite ningunha das tres casetas é do 16%.

Actividade 4: táboa de continxencia

Nunha empresa de deseño gráfico, os empregados clasifícanse segundo a súa experiencia (Expertos ou Novatos) e o tipo de proxecto que manexan (Web ou Gráfico). Dos 120 empregados, o 60% traballan en proxectos Web e o resto en proxectos Gráficos. Entre os que traballan en proxectos Web, o 70% son Expertos. Por outro lado, dos que traballan en proxectos Gráficos, o 40% son Expertos.

a) Elaborar unha táboa de continxencia coas frecuencias absolutas de empregados en cada categoría

Solución

Primeiro, establecemos as cantidades totais baseándonos na información proporcionada:

Total de empregados: 120

Empregados en Web: 60% de 120 = 72
Empregados en Gráficos: 40% de 120 = 48

Agora, determinamos o número de Expertos e Novatos en cada área:

Empregados Expertos en Web $W$ : 70% de 72 = 50.4, que aproximaremos a 50 para ter un número enteiro.
Empregados Novatos en Web: 72 - 50 = 22
Empregados Expertos en Gráficos $G$ : 40% de 48 = 19.2, que aproximaremos a 19 para ter un número enteiro.
Empregados Novatos en Gráficos: 48 - 19 = 29

Con estes datos, podemos crear a táboa de continxencia:

Categoría	Web	Gráficos	Total
Expertos	50	19	69
Novatos	22	29	51
Total	72	48	120

b) Calcular a probabilidade de que, ao escoller un empregado ao chou, este sexa un Experto ou traballe en proxectos Web.

Solución

Definimos os sucesos

$E$ = "Ser Experto"

$E^{'}$ = "Non ser Experto" = "Ser Novato"

$W$ = "Empregado en Web"

$W^{'}$ = "Non Empregado en Web" = "Empregado en Gráficos"

Entón, a probabilidade pedida é:

$P (e x t E x p e r t o o u W e b) = P (e x t E U W) = P (E x p e r t o) + P (W e b) - P (E x p e r t o \cap W e b)$

Sabemos que:

$P (E x p e r t o) = \frac{e x t N ú m e r o d e E x p e r t o s}{e x t T o t a l d e e m p r e g a d o s} = \frac{69}{120}$ $P (W e b) = \frac{e x t N ú m e r o d e e m p r e g a d o s e n W e b}{e x t T o t a l d e e m p r e g a d o s} = \frac{72}{120}$ $P (e x t E x p e r t o e W e b) = P (E x p e r t o \cap W e b) = \frac{e x t N ú m e r o d e E x p e r t o s e n W e b}{e x t T o t a l d e e m p r e g a d o s} = \frac{50}{120}$

Realizamos o cálculo:

$P (e x t E x p e r t o o u W e b) = P (e x t E x p e r t o U W e b) = \frac{69}{120} + \frac{72}{120} - \frac{50}{120}$

$P (e x t E x p e r t o U W e b) = \frac{69 + 72 - 50}{120}$

$P (e x t E x p e r t o U W e b) = \frac{91}{120}$ $P (e x t E x p e r t o U W e b) = 0.76$

Entón, a probabilidade expresada en porcentaxe de que ao escoller un empregado ao chou, este sexa un Experto ou traballe en proxectos Web é aproximadamente 76%.

Actividade 5: teorema da probabilidade total

Imaxina que nun festival de música hai tres escenarios diferentes: Electrónica (E), Rock (R) e Pop (P). Os asistentes distribúense polos escenarios segundo as súas preferencias musicais. O 40% prefiren Electrónica, o 35% Rock e o 25% Pop. Ao final de cada día, sortéase un premio entre os asistentes de cada escenario. A probabilidade de gañar o premio é do 5% no escenario de Electrónica, do 6% no de Rock e do 4% no de Pop.

Cal é a probabilidade de que un asistente calquera gañe o premio?

Solución

Definimos os sucesos:

$E$ : O asistente está no escenario de Electrónica.
$R$ : O asistente está no escenario de Rock.
$P$ : O asistente está no escenario de Pop.
$G$ : O asistente gaña o premio.

As probabilidades de estar en cada escenario son:

$P (E) = 0.40$ $P (R) = 0.35$ $P (P) = 0.25$

E as probabilidades de gañar o premio en cada escenario son:

$P (G | E) = 0.05$ $P (G | R) = 0.06$ $P (G | P) = 0.04$

Aplicamos o Teorema de la Probabilidade Total para calcular $P (G)$ :

$P (G) = P (G | E) P (E) + P (G | R) P (R) + P (G | P) P (P)$ $P (G) = (0.05 \cdot 0.40) + (0.06 \cdot 0.35) + (0.04 \cdot 0.25)$ $P (G) = 0.02 + 0.021 + 0.01$ $P (G) = 0.051$

Entón, a probabilidade en porcentaxe de que un asistente calquera gañe o premio é do 5.1%.

Actividade 6: teorema de Bayes

Supoñamos que temos unha caixa con bólas de tres cores: vermellas, verdes e azuis. A caixa contén o 40% de bólas vermellas, o 35% de bólas verdes e o resto de bólas azuis. Ademais, cada cor de bóla ten unha probabilidade distinta de ser unha bóla premiada: o 10% das bólas vermellas son premiadas, o 15% das bólas verdes e o 20% das bólas azuis.

Se extraemos unha bóla ao chou e resulta ser unha bóla premiada, cal é a probabilidade de que a bóla sexa verde?

Solución

Definamos os sucesos:

$R$ : Extraer unha bóla vermella.
$G$ : Extraer unha bóla verde.
$B$ : Extraer unha bóla azul.
$W$ : Extraer unha bóla premiada.

As probabilidades dadas son:

$P (R) = 0.40$ $P (G) = 0.35$ $P (B) = 1 - P (R) - P (G) = 0.25$

E as probabilidades de que cada bóla sexa premiada son:

$P (W | R) = 0.10$ $P (W | G) = 0.15$ $P (W | B) = 0.20$

Queremos atopar a probabilidade de que, se sacamos unha bóla premiada, esta sexa verde, é dicir, $P (G | W)$ .

Primeiro, usamos o Teorema da Probabilidade Total para calcular $P (W)$ :

$P (W) = P (W | R) P (R) + P (W | G) P (G) + P (W | B) P (B)$ $P (W) = (0.10 \cdot 0.40) + (0.15 \cdot 0.35) + (0.20 \cdot 0.25)$ $P (W) = 0.04 + 0.0525 + 0.05$ $P (W) = 0.1425$

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para calcular $P (G | W)$ :

$P (G | W) = \frac{P (W | G) \cdot P (G)}{P (W)}$ $P (G | W) = \frac{0.15 \cdot 0.35}{0.1425}$ $P (G | W) = \frac{0.0525}{0.1425}$ $P (G | W) \approx 0.3684$

Polo tanto, a probabilidade en porcentaxe de que a bóla premiada sexa verde é aproximadamente do 36.84%.