A distribución binomial exprésase como $B(n,p)$ onde $n$ é o número de probas e $p$ é a probabilidade de éxito en cada unha.

Cando $n$ é suficientemente grande $(n>30)$ e $p$ non é nin moi pequeno nin moi grande ($0.1<p<0.9$ aprox.), a forma da distribución binomial se aproxima á campá da distribución normal.

Isto débese a que cando hai moitas probas, a probabilidade concéntrase arredor da media, dando lugar a esa forma acampanada característica.

De feito, pode demostrarse que a binomial tende a converxer cara á normal canto maior sexa $n$. Esta aproximación é válida cando se cumpren as seguintes condicións:

• $n>30$
• $n\cdot p>5$
• $n\cdot (1-p)>5$

Cando se cumpre esta aproximación, para calcular probabilidades concretas da binomial, podemos usar a normal estandarizada correspondente. Isto simplifica os cálculos, xa que existen as táboas da distribución N(0,1).

A media e desviación típica da normal que se corresponde coa binomial $B(n,p)$ son:

$$\mu =np$$ $$\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{npq}$$

Polo tanto, a aproximación queda do seguinte xeito: $$X\in B(n,p)\Rightarrow X\approx X´\in N(np,\sqrt{npq})$$

Exemplo

Se lanzamos unha moeda non viciada 40 veces, temos unha $B(40,0.5)$, onde: $$\mu =20$$ $$\sigma =\sqrt{40\cdot 0.5\cdot 0.5}=3.16$$

Como cumpre as condicións $40\cdot 0.5=20>5$, podemos aproximar mediante unha $N(20,3.16)$.

A distribución binomial exprésase como $B(n,p)$ onde $n$ é o número de probas e $p$ é a probabilidade de éxito en cada unha.

Cando $n$ é suficientemente grande $(n>30)$ e $p$ non é nin moi pequeno nin moi grande ($0.1<p<0.9$ aprox.), a forma da distribución binomial se aproxima á campá da distribución normal.

Isto débese a que cando hai moitas probas, a probabilidade concéntrase arredor da media, dando lugar a esa forma acampanada característica.

De feito, pode demostrarse que a binomial tende a converxer cara á normal canto maior sexa $n$. Esta aproximación é válida cando se cumpren as seguintes condicións:

• $n>30$
• $n\cdot p>5$
• $n\cdot (1-p)>5$

Cando se cumpre esta aproximación, para calcular probabilidades concretas da binomial, podemos usar a normal estandarizada correspondente. Isto simplifica os cálculos, xa que existen as táboas da distribución N(0,1).

A media e desviación típica da normal que se corresponde coa binomial $B(n,p)$ son:

$$\mu =np$$ $$\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{npq}$$

Polo tanto, a aproximación queda do seguinte xeito: $$X\in B(n,p)\Rightarrow X\approx X´\in N(np,\sqrt{npq})$$

Exemplo

Se lanzamos unha moeda non viciada 40 veces, temos unha $B(40,0.5)$, onde: $$\mu =20$$ $$\sigma =\sqrt{40\cdot 0.5\cdot 0.5}=3.16$$

Como cumpre as condicións $40\cdot 0.5=20>5$, podemos aproximar mediante unha $N(20,3.16)$.