Páxina 51/85

Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

Variables aleatorias discretas

A velocidade do vento (km/h) nunha zona pode modelarse mediante unha distribución continua con función de densidade:

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x}{2} & e x t s e 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & e x t e n o u t r o c a s o \end{cases}$

a. Comproba que f(x) é unha función de densidade

Solución

Para que sexa función de densidade,

1. $f (x) \leq 0$ para todo valor x

Efectivamente, a función $\frac{x^{2}}{4}$ só toma valores positivos ou cero co que se cumpre a condición.

2. A integral no rango debe ser 1:

$\int_{0}^{2} \frac{x}{2} d x = {[\frac{x^{2}}{4}]}_{0}^{2} = 1$

Como cumpre as dúas condicións, f(x) é unha función de densidade.

b. Calcula $P (0.5 \leq X \leq 1)$

Solución

$\int_{0.5}^{1} \frac{x}{2} d x = {[\frac{x^{2}}{4}]}_{0.5}^{1} = \frac{3}{16}$

c. Calcula a media e a varianza

Solución

A media ou esperanza é:

$μ = \int_{0}^{2} x f (x) d x = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} d x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

A varianza é:

$σ^{2} = \int_{0}^{2} (x - μ)^{2} f (x) d x = \int_{0}^{2} {(x - \frac{4}{3})}^{2} \cdot \frac{x}{2} d x = \frac{2}{9}$

Variables aleatorias continuas

A velocidade do vento (km/h) nunha zona pode modelarse mediante unha distribución continua con función de densidade:

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x}{2} & e x t s e 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & e x t e n o u t r o c a s o \end{cases}$

a. Comproba que f(x) é unha función de densidade

Solución

Para que sexa función de densidade,

1. $f (x) \leq 0$ para todo valor x

Efectivamente, a función $\frac{x^{2}}{4}$ só toma valores positivos ou cero co que se cumpre a condición.

2. A integral no rango debe ser 1:

$\int_{0}^{2} \frac{x}{2} d x = {[\frac{x^{2}}{4}]}_{0}^{2} = 1$

Como cumpre as dúas condicións, f(x) é unha función de densidade.

b. Calcula $P (0.5 \leq X \leq 1)$

Solución

$\int_{0.5}^{1} \frac{x}{2} d x = {[\frac{x^{2}}{4}]}_{0.5}^{1} = \frac{3}{16}$

c. Calcula a media e a varianza

Solución

A media ou esperanza é:

$μ = \int_{0}^{2} x f (x) d x = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} d x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

A varianza é:

$σ^{2} = \int_{0}^{2} (x - μ)^{2} f (x) d x = \int_{0}^{2} {(x - \frac{4}{3})}^{2} \cdot \frac{x}{2} d x = \frac{2}{9}$

Distribución Binomial

Nunha fábrica hai 5 máquinas que producen pezas electrónicas. A probabilidade de que unha peza teña algún defecto de fabricación é do 0.1 en cada máquina. Se seleccionamos ao chou unha peza producida na fábrica, determina:

a. Distribución de probabilidade

b. Media e varianza

Solución

a. O número de pezas defectuosas segue unha distribución binomial de parámetros n = 5 (número de máquinas) e p = 0.1 (probabilidade de peza defectuosa en cada máquina).

Chamando $X$ á variable que conta o número de pezas defectuosas, temos:

$X \in B (5, 0.1)$

A media é $μ = n p = 5 \cdot 0.1 = 0.5$

O número medio de pezas defectuosas é 0.5

A varianza é $σ^{2} = n p (1 - p) = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.45$

Distribución Normal Estándar

1. Sea Z ∼ N(0, 1). Calcular

P(Z ≤ 1.03)
P(Z ≤ −1.03)
P(Z ≤ 4)
P(Z ≤ −4)

Solución

P(Z ≤ 1.03) = 0.8485
P(Z ≤ -1.03) = 0.1515
P(Z ≤ 4) = 1
P(Z ≤ −4) = 0

2. Sea Z ∼ N(0, 1). Calcular

P(Z >2.1)
P(Z ≥ −2.1)
P(Z ≥ −5.1)
P(Z >5.1)

Encabezamento 2

P(Z > 2.1) = 1 − P(Z ≤ 2.1) = 1 − 0.9821 = 0.0179
P(Z ≥ −2.1) = P(Z ≤ 2.1) = 0.9821
P(Z ≥ −5.1) = P(Z ≤ 5.1) = 1
P(Z > 5.1) = 1 − P(Z ≤ 5.1) = 1 − 1 = 0

Sea Z ∼ N(0, 1). Calcular:

P(1 ≤ Z ≤ 2)
P(0.5 ≤ Z ≤ 1.5)
P(−1.96 ≤ Z ≤ 1.96)
P(−2.58 ≤ Z ≤ −0.5)

Solución

P(1 ≤ Z ≤ 2) = P(Z ≤ 2) − P(Z < 1) = 0.9772 − 0.8413 = 0.1359
P(−0.5 ≤ Z ≤ 1.5) = P(Z ≤ 1.5) − P(Z < −0.5) = P(Z ≤ 1.5) − [1- P(Z < 0.5)] = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417
P(−1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 2P(Z ≤ 1.96) − 1 = 1.95 - 1 = 0.95
P(−2.58 ≤ Z ≤ −0.25) = P(0.25 ≤ Z ≤ 2.58) = P(Z ≤ 2.58) − P(Z < 0.25) = 0.9951 - 0.5987 = 0.3964

Distribución Normal

1. As alturas das persoas nunha poboación séguen aproximadamente unha distribución normal de media 170cm e desviación típica 6cm. Calcula as seguintes probabilidades:

P(X < 166cm)
P(X ≥ 178cm)
P(160cm ≤ X ≤ 190cm)
P(X = 175cm)

Solución

$P (X < 166) = P (Z < \frac{166 - 170}{6}) = P (Z < - 0.67) = 0.2517$
$P (X \geq 178) = 1 - P (Z < \frac{178 - 170}{6}) = 1 - P (Z < 1.33) = 1 - 0.9082 = 0.0918$
$P (160 \leq X \leq 190) = P (Z \leq \frac{190 - 170}{6}) - P (Z \leq \frac{160 - 170}{6}) =$
$= P (Z \leq 3.33) - P (Z \leq - 1.67) = 0.9995 - 0.0474 = 0.9521$
$P (X = 175) = 0$

2. O peso ao nacer dunha mostra de nenos ségue unha distribución N(3.2kg, 0.3kg). Calcula:

P(X > 3.9kg)
P(2.6kg ≤ X ≤ 3.5kg)

Solución

$P (X > 3.9) = 1 - P (Z < \frac{3.9 - 3.2}{0.3}) = 1 - P (Z < 2.33) = 1 - 0.9896 = 0.0104$
$P (2.6 \leq X \leq 3.5) = P (Z \leq \frac{3.5 - 3.2}{0.3}) - P (Z \leq \frac{2.6 - 3.2}{0.3}) = 0.9987 - 0.2159 = 0.7828$

c. Percentil 90 do peso ao nacer

Solución

Calcular $P e r c e n t i l_{90}$ supón calcular o valor que acumula á súa esquerda o 90% dos datos, é dicir, temos que achar x tal que $P (X \leq x) = 0.9$ :

$P (X \leq x) = 0.9 \Rightarrow P (Z \leq \frac{x - 3.2}{0.3}) = 0.9$

Buscando nas táboas da N(0,1) obtemos $P (Z \leq 1.28) = 0.8997$ , que é o valor que queda máis preto do 0.9. Isto quere dicir que:

$1.28 = \frac{x - 3.2}{0.3} \Rightarrow x = 1.28 \cdot 0.3 + 3.2 = 3.584$

Polo que o valor pedido é aproximadamente 3.6 kg

d. Probabilidade de que pese entre 2.5kg e 4kg

Solución

$P (2.5 \leq X \leq 4) = P (X \leq 4) - P (X \leq 2.5) = 0.9938 - 0$

3. As notas dos exames de matemáticas dun centro educativo séguen aproximadamente unha distribución normal con media 7 e desviación típica 2. Determina:

P(X > 9)
P(X ≤ 4)

Solución

$Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{X - 7}{2}$
$P (X > 9) = P (Z > \frac{9 - 7}{2}) = P (Z > 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$
$P (X \leq 4) = P (Z \leq \frac{4 - 7}{2}) = P (Z \leq - 1.5) = 0.0668$

c. Nota mínima no percentil 70

Solución

$P e r c e n t i l_{70 %} \Rightarrow X = Z_{70 %} \cdot σ + μ = 0.5244 \cdot 2 + 7 = 8.5$

d. Nota máxima no percentil 25

Solución

$P e r c e n t i l_{25 %} \Rightarrow X = Z_{25 %} \cdot σ + μ = - 0.6745 \cdot 2 + 7 = 5$

4. O tempo de vida (en horas) das baterías dunha marca ségue unha N(2500, 100). Que tempo de vida:

a. Superarán o 99% das baterías?

Solución

$X_{99 %} = Z_{99 %} \cdot σ + μ = 2.33 \cdot 100 + 2500 = 2733$

b. Non superarán o 5% das baterías?

Solución

$X_{5 %} = Z_{5 %} \cdot σ + μ = - 1.645 \cdot 100 + 2500 = 2336$

c. Superará o 80% pero non o 95% das baterías?

Solución

$X_{80 %} = Z_{80 %} \cdot σ + μ = 0.84 \cdot 100 + 2500 = 2584$

$X_{95 %} = Z_{95 %} \cdot σ + μ = 1.645 \cdot 100 + 2500 = 2665$

d. Superará o 50% das baterías?

Solución

$X_{50 %} = μ = 2500$

Aproximación da Binomial á Normal

1. O número de peixes que se pescan nun día nun lago pódese modelar cunha distribución binomial B(20, 0.3) (20 intentos cunha probabilidade de 0.3 de éxito en cada un). Utilizando unha aproximación normal, calcula:

P(X ≤ 5)
P(X ≥ 10)

Solución

Calculamos os prámetros da normal:

$n p = 20 \cdot 0.3 = 6; σ = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{6 \cdot 0.7} = 1.7321$

a. $P (X \leq 5) \approx P (Z \leq \frac{5 - 0.5 - 6}{1.7321}) = P (Z \leq - 0.6744) = 0.2501$

b. $P (X \geq 10) \approx P (Z \geq \frac{10 + 0.5 - 6}{1.7321}) = P (Z \geq 2.3629) = 0.0092$

2. O número de pezas defectuosas nun lote de 600 unidades séguese cunha distribución binomial B(600, 0.01). Determinar:

a. Probabilidade de ter entre 5 e 15 pezas defectuosas

b. Número máximo esperado de pezas defectuosas ao 90% de confianza

Solución

Comprobamos se podemos aproximar pola normal:

$n = 600 > 30$

$n \cdot p = 600 \cdot 0.01 = 6 > 5$

$n \cdot q = 600 \cdot 0.99 = 594 > 5$

Como se cumpren as condicións, calculamos a media e a desviación típica:

$n p = 600 \cdot 0.01 = 6; σ = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{6 \cdot 0.99} = 2.44$

Entón: $X \in B (600, 0.01) \Rightarrow X \approx X ´ \in N (6, 2.44)$

a. $P (5 \leq X \leq 15) \approx P (5 - 0.5 \leq X ´ \leq 15 + 0.5) = P (\frac{4.5 - 6}{2.44} \leq Z \leq \frac{15.5 - 6}{2.44})$ $= P (- 0.61 \leq Z \leq 3.89)$ $= 0.99995 - (1 - 0.7291) = 0.72905$

b. $X_{90 %} = [Z_{90 %} \cdot σ + n p] - 0.5 = [(1.645) \cdot 2.44 + 6] - 0.5 = 9.51$

Actividades resoltas

Variables aleatorias discretas

Solución

Solución

Solución

Variables aleatorias continuas

Solución

Solución

Solución

Distribución Binomial

Solución

Distribución Normal Estándar

Solución

Encabezamento 2

Solución

Distribución Normal

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Aproximación da Binomial á Normal

Solución

Solución

Conecemento previo