Distribución de probabilidade Normal | Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

Páxina 46/85

Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

Gráfica Normal A distribución normal ten varias características e propiedades craves que a definen.

En primeiro lugar, a media, a mediana e a moda son iguais entre si.
Ademais, todos estes valores representan o pico ou punto máis alto da distribución.
A distribución cae simétricamente ao redor da media, cuxa anchura vén definida pola desviación típica.

A distribución normal módelase con forma de campá e descríbese pola media e a desviación típica, denotándose por $N (μ, σ)$ .

A función de densidade é:

$f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$

onde:

$x$ = valor da variable ou dos datos examinados e f(x) a función de probabilidade
$μ$ = a media
$σ$ = a desviación típica (ou desviación estándar)

Propiedades

$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$
En todas as distribucións normais:
- O 68,2% das observacións aparecerán dentro de máis ou menos unha desviación típica da media. Noutras palabras, os valores do intervalo $[μ - σ, μ + σ]$ teñen unha probabilidade de aparecer dun 68,2%.
- O 95,4% das observacións caerán dentro de máis ou menos dúas desviacións típicas. É dicir, os valores do intervalo $[μ - 2 σ, μ + 2 σ]$ teñen unha probabilidade de aparecer dun 95,4%.
- O 99,7% dentro de máis ou menos tres desviacións típicas. Doutro xeito,vos valores do intervalo $[μ - 3 σ, μ + 3 σ]$ teñen unha probabilidade de aparecer dun 99,7%.

Isto significa que os datos que caen fóra das tres desviacións estándar (" $μ \pm 3 σ$ ") significarían ocorrencias raras.

Gráficamente:

Distribución Normal Estándar

A Distribución Normal Estándar, $N (0, 1)$ , é un caso especial da distribución normal que adopta unha forma específica cunha media e unha desviación estándar dadas:

Media, μ = 0
Desviación típica, σ = 1

A súa función de densidade é: $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Distribucións Normal e Normal Estándar

Tipificar

A tipificación dunha variable aleatoria normal é un proceso que se utiliza para transformar unha variable aleatoria normal con media $μ$ e desviación típica $σ$ nunha variable aleatoria normal estándar con media 0 e desviación típica 1. Este proceso coñécese como estandarización ou normalización.

A tipificación realízase mediante a seguinte transformación:

$Z = \frac{X - μ}{σ}$

Onde:

$X$ é a variable aleatoria normal orixinal
$μ$ é a media de $X$
$σ$ é a desviación típica de $X$
$Z$ é a variable aleatoria normal estándar ou tipificada.

Exemplo

Se as alturas nunha poboación seguen unha normal de media 170 cm e desviación 5 cm, cal é a probabilidade de que un individuo mida entre 165 cm e 175 cm?

Trátase dunha $N (170, 5)$ e pídesenos $P (165 \leq X \leq 175)$ .

Para poder utilizar a táboa da normal estándar, primeiro teremos que tipificar:

$P (165 \leq X \leq 175) = P (\frac{165 - 170}{5} \leq Z \leq \frac{175 - 170}{5}) = P (- 1 \leq Z \leq 1)$

Agora usamos a táboa e calculamos a probabilidade pedida:

$P (- 1 \leq Z \leq 1) = P (Z \leq 1) - P (Z \leq - 1) = 0.8413 - (1 - 0.8413) = 0.6826$