Función de distribución

A función de distribución, F(x), indica a probabilidade de que a variable aleatoria tome un valor menor ou igual a x. $$F(x)=P(X\le x)$$

Calcúlase a partir da función de densidade f(x) utilizando a seguinte integral:

$$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt$$

Exemplo 1

Dada a funcion de densidade:

$$f(x)=\frac{1}{5}\text{para }0\le x\le 5$$

Primeiro, verificamos que $f(x)$ sexa unha función de densidade de probabilidade asegurándonos de que sexa non negativa para todo $x$ e de que a área baixo da curva sexa igual a 1.

Logo, calculamos a función de distribución $F(x)$, que nos dará a probabilidade de que $X$ sexa menor ou igual ca un valor dado $x$.

A función de distribución é:

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }x<0\\ {\int }_0^x\frac{1}{5}dx=\frac{1}{5}x& \text{se }0\le x<5\\ 1& \text{se }x\ge 5\end{array}$$

Exemplo 2

Supoñamos que temos unha variable aleatoria continua $X$ con función de densidade dada por:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}& \text{se }0\le x\le 2\\ \frac{1}{6}& \text{se }2<x\le 4\\ 0& \text{noutro caso}\end{array}$$

Queremos calcular a súa función de distribución $F(x)$.

Primeiro, verificamos que $f(x)$ sexa unha función de densidade de probabilidade asegurándonos de que sexa non negativa para todo $x$ e de que a área baixo da curva sexa igual a 1.

Logo, calculamos a función de distribución $F(x)$, que nos dará a probabilidade de que $X$ sexa menor ou igual ca un valor dado $x$.

A función de distribución $F(x)$ está dada por:

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }x<0\\ {\int }_0^x\frac{1}{3}dx=\frac{1}{3}x& \text{se }0\le x<2\\ {\int }_0^2\frac{1}{3}dx+{\int }_2^x\frac{1}{6}dx=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}& \text{se }2\le x<4\\ 1& \text{se }x\ge 4\end{array}$$