Ferramentas

Das ferramentas tecnolóxicas mencionadas no apartado 4, as seguintes son especialmente pertinentes para o estudo de variables bidimensionais e a análise da relación entre dúas variables:

GeoGebra: GeoGebra é unha excelente ferramenta para visualizar e explorar graficamente a relación entre dúas variables. Permite representar diagramas de puntos, axustar rectas e parábolas de regresión, e observar como varían os coeficientes ao modificar os datos. Ademais, GeoGebra facilita a comprensión de conceptos como a correlación e a pertinencia do axuste.
Follas de cálculo (Excel, Google Sheets, etc.): As follas de cálculo ofrecen funcións incorporadas para calcular coeficientes de correlación lineal, axustar rectas e parábolas de regresión, e obter medidas de bondade de axuste. Tamén permiten crear diagramas de puntos e representar graficamente os modelos de regresión. Son ferramentas moi útiles para analizar datos bidimensionais de forma visual e numérica.
R: R é un potente software estatístico que inclúe paquetes e funcións específicas para o estudo de variables bidimensionais. Permite calcular distribucións conxuntas, marxinais e condicionadas, así como coeficientes de correlación e axustar modelos de regresión lineal e non lineal. Ademais, R ofrece excelentes capacidades gráficas para representar diagramas de puntos e curvas de regresión.
Python (con librerías como NumPy, Pandas, Matplotlib, etc.): Python, xunto coas súas librerías de análise de datos e visualización, é outra opción moi versátil para traballar con variables bidimensionais. Permite realizar cálculos estatísticos, axustar modelos de regresión e crear diagramas de puntos e gráficos de regresión de alta calidade.
Calculadoras científicas (Casio ClassWiz FX-570SP X II, etc.): Aínda que con capacidades máis limitadas, as calculadoras científicas modernas permiten calcular coeficientes de correlación, axustar rectas de regresión e realizar outros cálculos básicos relacionados coas variables bidimensionais.

Exemplos

1. GeoGebra

Representar nun diagrama de puntos os seguintes datos bidimensionais e axustar unha recta de regresión lineal. Analizar graficamente a pertinencia do axuste.

X: 1, 2, 3, 4, 5

Y: 3, 1.5, 0, -1.5, -3

Solución

Abrir GeoGebra e introduza os datos na folla de cálculo.
Marcando sobre los tres puntos de la columna Y aparecen todos los datos correspondientes a l estudio bidimensional.
Crear un diagrama de puntos seleccionando a opción "Diagrama de puntos" na barra de ferramentas.
A continuación, seleccionar mediante unha cuadrícula os puntos do gráfico e axustar unha recta de regresión lineal marcando na barra "Recta de regresión".

O coeficiente de correlación é -1, o que indica unha correlación lineal negativa perfecta entre X e Y, e a recta de regresión axústase perfectamente aos datos.

2. Follas de cálculo (Excel)

Utilizando Microsoft Excel, calcular o coeficiente de correlación lineal de Pearson, elaborar o diegrama de dispersión e calcular a recta de regresión de Y sobre X para os seguintes datos bidimensionais. Interpretar os resultados.

X: 1, 2, 3, 4, 5

Y: 1, 4, 9, 16, 25

Solución

Abrir Microsoft Excel e introducir os datos de X e Y en columnas adxacentes.
- Para calcular o coeficiente de correlación lineal de Pearson, utilizar a función =COEF.DE.CORREL():
- Seleccionar unha cela baleira.
- Escribir a seguinte fórmula: =COEF.DE.CORREL(A1:A5, B1:B5) (Asumindo que os datos de X están na columna A e os datos de Y están na columna B)
- Premer Enter.
- O resultado será 0.98110491.
Para axustar unha recta de regresión lineal, siga estes pasos:
- Seleccionar os datos de X e Y (incluíndo os encabezados das columnas).
- No menú "Inserir", seleccione "Gráficos de dispersión" e escoller o tipo de gráfico de dispersión desexado.
- Unha vez creado o gráfico de dispersión, seleccionar "Engadir liña de tendencia" no menú "Agregar elemento de gráfico".
- Na xanela "Liña de tendencia", seleccionar a opción "Liña recta".
- Facendo clic na recta de regresión, seleccionar no menú que aparece "Amosar ecuación na gráfica".
- Facer clic en "Aceptar".
Interpretación dos resultados:
- O gráfico de dispersión amosará os puntos de datos e a recta de regresión lineal axustada.
- A ecuación da recta de regresión lineal aparecerá na gráfica.
- Neste caso, a ecuación da recta de regresión será y = 6x - 7.
- Un coeficiente de correlación moi cerca de 1 indica unha correlación lineal o que indica unha correlación lineal positiva moi forte entre X e Y.

3. R

Utilizando R, calcular a distribución conxunta, as distribucións marxinais e as distribucións condicionadas para as seguintes variables aleatorias discretas bidimensionais:

X: 1, 2, 3

Y: 1, 2, 1

Solución

# Definir a distribución conxunta

conxunta <- matrix(c(0.1, 0.2, 0.3, 0.1, 0.2, 0.1), nrow=3, ncol=2, byrow=TRUE)

# Calcular as distribucións marxinais

marxinal_x <- apply(conxunta, 1, sum)

marxinal_y <- apply(conxunta, 2, sum)

# Calcular as distribucións condicionadas

condicionada_x <- conxunta / marxinal_x

condicionada_y <- conxunta / marxinal_y

4. Python

Utilizando Python e as librerías NumPy, Pandas e Matplotlib, representar un diagrama de puntos para os seguintes datos bidimensionais e axustar unha recta de regresión lineal. Representar a recta de regresión.

X: [1, 2, 3, 4, 5]

Y: [2, 4, 5, 7, 8]

Solución

import numpy as np

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

# Datos

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

y = np.array([2, 4, 5, 7, 8])

# Diagrama de puntos

plt.scatter(x, y)

plt.xlabel('X')

plt.ylabel('Y')

# Axuste de regresión lineal

from scipy.stats import linregress

slope, intercept, r_value, p_value, std_err = linregress(x, y)

# Representar a recta de regresión

plt.plot(x, slope*x + intercept, 'r')

plt.show()

5. Calculadora Casio ClassWiz FX-570SP X II

Utilizando a calculadora Casio ClassWiz FX-570SP X II, calcule o coeficiente de correlación lineal de Pearson para os seguintes datos bidimensionais:

X: 10, 12, 14, 16, 18

Y: 15, 18, 21, 24, 27

Solución

Acceder ao modo de cálculo de probabilidades: [MENU] > [6: Estadística] > [2: y=a+bx]
Introducir os datos de X e Y na folla de cálculo e saír.
Premer: [OPTN] -> [2: Calc regresión]

O resultado será r = 1, indicando unha correlación lineal positiva perfecta entre X e Y.

Nota: Tamén se obteñen os valores a=0 e b=1.5 para construir a recta de regresión de Y sobre X: y=0+1.5x