Skip to content

Páxina 63/85

Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

Actividades resoltas

Calculadora científica

Utiliza a folla de cálculo EXCEL para resolver os seguintes exercicios:

1. Nunha compañía de seguros médicos, a probabilidade de que un cliente contrate un seguro de vida é do 20%. Se un axente visita 150 clientes potenciais:

  1. Cál é a probabilidade de que exactamente 25 clientes contraten un seguro de vida?
  2. Cál é a probabilidade de que 35 ou máis clientes contraten un seguro de vida?

Solución

Abrimos Microsoft Excel e accedemos á función DISTR.BINOM:

  • Esta función calcula a probabilidade para un valor específico da distribución binomial.
  • A sintaxe é: =DISTR.BINOM(número_éxitos, ensaios, probabilidade_éxito, acumulada)

a. Para calcular P(X=25), onde X é o número de clientes que contratan un seguro:

  • Nunha cela introducimos: =DISTR.BINOM(25, 150, 0.2, 0)
  • Isto calcula a probabilidade de masa para 25 éxitos en 150 ensaios con probabilidade de éxito 0.2
  • O resultado será: 0.0846

Polo tanto, a probabilidade de que exactamente 25 clientes contraten un seguro de vida é 0.0846 ou 8.46%.

b. Para calcular P(X≥35):

  • Nunha cela introducimos: =1 - DISTR.BINOM(34, 150, 0.2, 1)
  • Isto calcula a probabilidade acumulada complementaria para 34 éxitos ou menos
  • O resultado será: 0.0524

Polo tanto, a probabilidade de que 35 ou máis clientes contraten un seguro de vida é 0.0524 ou 5.24%.

2. Nunha fábrica de cables eléctricos, o grosor dos cables segue unha distribución normal cunha media de 2.5 milímetros e unha desviación típica de 0.1 milímetros. Se se selecciona un cable ao azar:

  1. Cál é a probabilidade de que o seu grosor estea entre 2.4 e 2.7 milímetros?
  2. Se queremos garantir que o 99% dos cables teñan un grosor inferior a un determinado valor, cál debe ser ese valor máximo?

Solución

Abrimos Microsoft Excel e accedemos á función DISTR.NORM:

  • Esta función calcula a probabilidade para un valor específico da distribución normal.
  • A sintaxe é: =DISTR.NORM(x, media, desviación_típica, acumulada)

a. Para calcular P(2.4 < X < 2.7):

  • Nunha cela introducimos: =DISTR.NORM(2.7, 2.5, 0.1, 1) - DISTR.NORM(2.4, 2.5, 0.1, 1)
  • Isto calcula a diferenza entre as probabilidades acumuladas para 2.7 e 2.4
  • O resultado será: 0.9544

Polo tanto, a probabilidade de que o grosor do cable estea entre 2.4 e 2.7 milímetros é 0.9544 ou 95.44%.

b. Para atopar o valor x tal que P(X < x) = 0.99 (o 99% dos casos):

  • Nunha cela introducimos: =DISTR.NORM.INV(0.99, 2.5, 0.1)
  • Esta función calcula o valor x para unha probabilidade acumulada dada
  • O resultado será: 2.6755

Isto significa que o 99% dos cables terán un grosor inferior a 2.6755 milímetros.

Excel

Utiliza a folla de cálculo EXCEL para resolver os seguintes exercicios:

1. Nunha compañía de seguros médicos, a probabilidade de que un cliente contrate un seguro de vida é do 20%. Se un axente visita 150 clientes potenciais:

  1. Cál é a probabilidade de que exactamente 25 clientes contraten un seguro de vida?
  2. Cál é a probabilidade de que 35 ou máis clientes contraten un seguro de vida?

Solución

Abrimos Microsoft Excel e accedemos á función DISTR.BINOM:

  • Esta función calcula a probabilidade para un valor específico da distribución binomial.
  • A sintaxe é: =DISTR.BINOM(número_éxitos, ensaios, probabilidade_éxito, acumulada)

a. Para calcular P(X=25), onde X é o número de clientes que contratan un seguro:

  • Nunha cela introducimos: =DISTR.BINOM(25, 150, 0.2, 0)
  • Isto calcula a probabilidade de masa para 25 éxitos en 150 ensaios con probabilidade de éxito 0.2
  • O resultado será: 0.0846

Polo tanto, a probabilidade de que exactamente 25 clientes contraten un seguro de vida é 0.0846 ou 8.46%.

b. Para calcular P(X≥35):

  • Nunha cela introducimos: =1 - DISTR.BINOM(34, 150, 0.2, 1)
  • Isto calcula a probabilidade acumulada complementaria para 34 éxitos ou menos
  • O resultado será: 0.0524

Polo tanto, a probabilidade de que 35 ou máis clientes contraten un seguro de vida é 0.0524 ou 5.24%.

2. Nunha fábrica de cables eléctricos, o grosor dos cables segue unha distribución normal cunha media de 2.5 milímetros e unha desviación típica de 0.1 milímetros. Se se selecciona un cable ao azar:

  1. Cál é a probabilidade de que o seu grosor estea entre 2.4 e 2.7 milímetros?
  2. Se queremos garantir que o 99% dos cables teñan un grosor inferior a un determinado valor, cál debe ser ese valor máximo?

Solución

Abrimos Microsoft Excel e accedemos á función DISTR.NORM:

  • Esta función calcula a probabilidade para un valor específico da distribución normal.
  • A sintaxe é: =DISTR.NORM(x, media, desviación_típica, acumulada)

a. Para calcular P(2.4 < X < 2.7):

  • Nunha cela introducimos: =DISTR.NORM(2.7, 2.5, 0.1, 1) - DISTR.NORM(2.4, 2.5, 0.1, 1)
  • Isto calcula a diferenza entre as probabilidades acumuladas para 2.7 e 2.4
  • O resultado será: 0.9544

Polo tanto, a probabilidade de que o grosor do cable estea entre 2.4 e 2.7 milímetros é 0.9544 ou 95.44%.

b. Para atopar o valor x tal que P(X < x) = 0.99 (o 99% dos casos):

  • Nunha cela introducimos: =DISTR.NORM.INV(0.99, 2.5, 0.1)
  • Esta función calcula o valor x para unha probabilidade acumulada dada
  • O resultado será: 2.6755

Isto significa que o 99% dos cables terán un grosor inferior a 2.6755 milímetros.

SPSS

Utiliza o programa SPSS para resolver os seguintes exercicios:

1. Nunha empresa de venda de automóbiles, a probabilidade de que un cliente compre un vehículo é do 30%. Se se visitan 120 clientes potenciais:

  1. Cál é a probabilidade de que exactamente 40 clientes compren un vehículo?
  2. Cál é a probabilidade de que máis de 45 clientes compren un vehículo?

Solución

  1. Abrimos SPSS e accedemos ao menú: Analizar > Distribucións > Binomial

  2. Na xanela de "Distribución Binomial", introducimos os seguintes valores:

    • Ensaios (n): 120
    • Probabilidade de éxito (π): 0.3 (probabilidade de comprar un vehículo)

  3. Facemos clic en "Calcular" e seleccionamos "Probabilidade de X"

a. Para calcular P(X=40):

  • Introducimos 40 no campo "Valor de X"
  • Facemos clic en "Aceptar"
  • O resultado amosarase na vista de datos: 0.0727

Polo tanto, a probabilidade de que exactamente 40 clientes compren un vehículo é 0.0727 ou 7.27%.

b. Para calcular P(X>45):

  • Volvemos á xanela "Distribución Binomial"
  • Seleccionamos "Probabilidade acumulada > X"
  • Introducimos 45 no campo "Valor de X"
  • Facemos clic en "Aceptar"
  • O resultado amosarase na vista de datos: 0.1293

Polo tanto, a probabilidade de que máis de 45 clientes compren un vehículo é 0.1293 ou 12.93%.

2. Nunha fábrica de envases de vidro, o peso dos envases segue unha distribución normal cunha media de 500 gramos e unha desviación típica de 10 gramos. Se se selecciona un envase ao azar:

  1. Cál é a probabilidade de que o seu peso estea entre 490 e 520 gramos?
  2. Se queremos garantir que o 95% dos envases teñan un peso superior a un determinado valor, cál debe ser ese valor mínimo?

Solución

  1. Abrimos SPSS e accedemos ao menú: Analizar > Distribucións > Distribución Normal

  2. Na xanela de "Distribución Normal", introducimos os seguintes valores:

    • Media (μ): 500
    • Desviación típica (σ): 10

  3. Facemos clic en "Calcular" e seleccionamos "Probabilidade entre"

a. Para calcular P(490 < X < 520):

  • Introducimos 490 no campo "Valor inferior"
  • Introducimos 520 no campo "Valor superior"
  • Facemos clic en "Aceptar"
  • O resultado amosarase na vista de datos: 0.9544

Polo tanto, a probabilidade de que o peso do envase estea entre 490 e 520 gramos é 0.9544 ou 95.44%.

b. Para atopar o valor x tal que P(X > x) = 0.05 (o 95% dos casos):

  • Volvemos á xanela "Distribución Normal"
  • Seleccionamos "Valor para probabilidade acumulada"
  • Introducimos 0.95 no campo "Probabilidade acumulada"
  • Facemos clic en "Aceptar"
  • O resultado amosarase na vista de datos: 476.44

Isto significa que o 95% dos envases terán un peso superior a 476.44 gramos.

Python

Utiliza a linguaxe de programación Python para resolver os seguintes exercicios:

1. Nunha granxa avícola, a probabilidade de que un ovo estea fisicamente danado é do 5%. Se se recollen 100 ovos:

  1. Cál é a probabilidade de que exactamente 8 ovos estean danados?
  2. Cál é a probabilidade de que haxa máis de 10 ovos danados?

Solución

Imos utilizar a función binom da biblioteca scipy.stats de Python para traballar coa distribución binomial.

1. from scipy.stats import binom
2. 
3. # Definimos os parámetros da distribución binomial
4. n = 100 # Número de ensaios (número de ovos)
5. p = 0.05 # Probabilidade de éxito (ovo danado)

a. Para calcular P(X = 8), onde X é o número de ovos danados:

1. # Calculamos a probabilidade usando a función de masa de probabilidade
2. prob = binom.pmf(8, n, p)
3. print(f"A probabilidade de que exactamente 8 ovos estean danados é: {prob:.4f}")

Saída:

A probabilidade de que exactamente 8 ovos estean danados é: 0.1506

b. Para calcular P(X > 10), que é a probabilidade de ter máis de 10 ovos danados:

1. # Calculamos a probabilidade usando a función de distribución acumulada complementaria
2. prob = 1 - binom.cdf(10, n, p)
3. print(f"A probabilidade de que haxa máis de 10 ovos danados é: {prob:.4f}")

Saída:

A probabilidade de que haxa máis de 10 ovos danados é: 0.0614

2. Nunha fábrica de baterías, a duración das baterías segue unha distribución normal cunha media de 1000 horas e unha desviación típica de 50 horas. Se se selecciona unha batería ao azar:

  1. Cál é a probabilidade de que a súa duración sexa superior a 1100 horas?
  2. Se queremos garantir que o 90% das baterías teñan unha duración superior a un determinado valor, cál debe ser ese valor mínimo?

Solución

Imos utilizar a biblioteca scipy.stats de Python para traballar coa distribución normal.

1. from scipy.stats import norm
2.
3. # Definimos os parámetros da distribución normal
4. mu = 1000 # Media
5. sigma = 50 # Desviación típica

a. Para calcular P(X > 1100):

1. # Calculamos o valor z correspondente a 1100 horas
2. z = (1100 - mu) / sigma
3. # Obtemos a probabilidade usando a función de distribución acumulada
4. p = 1 - norm.cdf(z)
5. print(f"A probabilidade de que a duración sexa superior a 1100 horas é: {p:.4f}")

Saída:

A probabilidade de que a duración sexa superior a 1100 horas é: 0.0228


b. Para atopar o valor x tal que P(X > x) = 0.1 (o 90% dos casos):

1. # Obtemos o valor z correspondente a unha probabilidade de 0.1 usando a función inversa
2. z = norm.ppf(0.1)
3. # Calculamos o valor x a partir de z
4. x = mu - sigma * z
5. print(f"O valor mínimo para garantir que o 90% das baterías teñan unha duración superior é: {x:.2f} horas")

Saída:

O valor mínimo para garantir que o 90% das baterías teñan unha

GeoGebra

Utiliza GeoGebra para resolver os seguintes exercicios:

1. Nunha fábrica de compoñentes electrónicos, a probabilidade de que unha peza teña un defecto é do 3%. Se se inspecciona unha mostra aleatoria de 20 pezas, calcula:

  1. A probabilidade de que exactamente 2 pezas teñan un defecto.
  2. A probabilidade de que haxa 3 ou máis pezas defectuosas.

Solución

  1. Abrimos GeoGebra e accedemos á vista de Cálculo Simbólico.

  2. Definimos os parámetros da distribución binomial:

    • Número de ensaios (tamaño da mostra): n = 20
    • Probabilidade de éxito (peza sen defecto): p = 0.97
    • Probabilidade de fracaso (peza defectuosa): q = 1 - p = 0.03

  3. Para calcular P(X=2), onde X é o número de pezas defectuosas, usamos a función BinomialDist: BinomialDist(20, 0.03, 2) = 0.2117

    Polo tanto, a probabilidade de que exactamente 2 pezas teñan un defecto é 0.2117 ou 21.17%.

  4. Para calcular P(X≥3), que é a probabilidade de ter 3 ou máis pezas defectuosas: = 1 - BinomialDist(20, 0.03, 0) - BinomialDist(20, 0.03, 1) - BinomialDist(20, 0.03, 2) = 1 - 0.5163 - 0.2703 - 0.2117 = 0.0017

    Polo tanto, a probabilidade de ter 3 ou máis pezas defectuosas é 0.0017 ou 0.17%.

2. Nunha fábrica de pneumáticos, o diámetro dos pneumáticos segue unha distribución normal cunha media de 65 cm e unha desviación típica de 0.5 cm. Se se selecciona un pneumático ao azar:

  1. Cál é a probabilidade de que o seu diámetro estea entre 64 cm e 66 cm?
  2. Cál é o diámetro máximo que podemos esperar no 95% dos casos?

Solución

  1. Abrimos GeoGebra e accedemos á vista de Cálculo Simbólico.

  2. Definimos os parámetros da distribución normal:

    • Media (μ) = 65
    • Desviación típica (σ) = 0.5

  3. Para calcular P(64 < X < 66), usamos a función NormalDist: NormalDist(66, 65, 0.5) - NormalDist(64, 65, 0.5) = 0.6827 - 0.0228 = 0.6599

    Polo tanto, a probabilidade de que o diámetro estea entre 64 cm e 66 cm é 0.6599 ou 65.99%.

  4. Para atopar o valor x tal que P(X < x) = 0.95 (o 95% dos casos): InverseNormal(0.95, 65, 0.5) = 66.1644

    Isto significa que o 95% dos pneumáticos terán un diámetro menor ou igual a 66.1644 cm.

Anterior Seguinte

Creado con eXeLearning (nueva ventana)