Función de distribución | Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

Páxina 37/85

Probabilidade e Distribucions de Probabilidade. O Estudo Estatístico Bidimensional

A función de distribución dunha variable aleatoria discreta $X$ é unha función que asigna a cada valor $x$ no rango de $X$ a probabilidade acumulada de que $X$ tome un valor menor ou igual a $x$ .

Formalmente, defínese como:

$F (x) = P (X \leq x) = \sum_{k \leq x} P (X = k)$

Onde $P (X = k)$ é a función de masa de probabilidade de $X$ , que asigna a probabilidade de que $X$ tome cada valor $k$ no seu rango.

Propiedades

A función de distribución dunha variable discreta ten varias propiedades importantes:

0 ≤ F(x) ≤ 1 para todo x
F(x) é crecente
Límites:
- $lim_{x \to - \infty}$ F(x) = 0
- $lim_{x \to \infty}$ F(x) = 1
F(x) é continua pola dereita
Propiedades de probabilidade:
- P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
- P(X > a) = 1 - F(a)
- P(X ≤ a) = F(a)

Exemplo

Consideramos o experimento aleatorio que consiste en lanzar unha moeda e definimos a variable aleatoria que conta o número de cruces.

Espazo mostral: $Ω = {0, 1}$
Función de distribución:
$F (x) = P (X \leq x) = {\begin{cases} 0 & se x < 0 \\ \frac{1}{2} & se 0 \leq x < 1 \\ 1 & se x \geq 1 \end{cases}$
Representación da función de distribución: