Entre dúas rectas
Dadas dúas rectas, \(r\) e \(s\), podemos estudiar a posición relativa que teñen no espacio ben analizando os seus puntos e vectores directores, ou ben analizando as súas ecuacións implícitas.
| \(P_r, \vec{v_r}\) e \(P_s, \vec{v_s}\) |
\[r: \left\{ \begin{array}{lcl} Ax + By + Cz + D & = & 0 \\ A'x + B'y + C'z + D' & = & 0 \end{array} \right.\] \[s: \left\{ \begin{array}{lcl} A''x + B''y + C''z + D'' & = & 0 \\ A'''x + B'''y + C'''z + D''' & = & 0 \end{array} \right.\] |
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| Coincidentes | \(\vec{v_r} \sim \vec{v_s}\), \(P_r \in s\) |
Sistema compatible indeterminado \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2\) |
| Paralelas | \(\vec{v_r} \sim \vec{v_s}\), \(P_r \notin s\) |
Sistema incompatible \(\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3\) |
| Secantes | \(\vec{v_r} \nsim \vec{v_s}\), \(\displaystyle \left[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_rP_s}\right] = 0\) |
Sistema compatible determinado \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3\) |
| Se cruzan | \(\vec{v_r} \nsim \vec{v_s}\), \(\displaystyle \left[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_rP_s}\right] \neq 0\) |
Sistema incompatible \(\text{rg}(A) = 3 \neq \text{rg}(A^*) = 4\) |
Exemplo 1.- Estudia a posición relativa das rectas \(\displaystyle r: \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 1}{-2} \) e \(\displaystyle s: \frac{x + 4}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z - 3}{1} \).
Temos \(P_r (-2, 1, -1), \vec{v_r} = (5, 3, -2)\) e \(P_s (-4, 0, 3), \vec{v_s} = (2, -1, 1)\).
Os vectores directores non son proporcionais, logo as rectas non son nin coincidentes nin paralelas. Imos facer o producto mixto para ver se se cortan ou se cruzan.
\(\vec{P_rP_s} = (-2, -1, 4)\)
Polo tanto: \(\displaystyle \left[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_rP_s}\right] = \left| \begin{array}{ccc} 5 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & 2 \end{array}\right| = -15 \neq 0\)
As rectas se cruzan.
Exemplo 2.- Estudia a posición relativa das rectas \(r: \left\{ \begin{array}{lcl} 3x + y + z + 4 & = & 0 \\ 2x - 3y + 5z - 2 & = & 0 \end{array} \right.\) e \(s: \left\{ \begin{array}{lcl} 4x + 5y - 3z + 10 & = & 0 \\ 5x - 2y + 6z + 6 & = & 0 \end{array} \right.\)
Estudiamos o rango de \(A\) e \(A^*\).
\(A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 5 \\ 4 & 5 & -3 \\ 5 & -2 & 6 \end{array} \right)\) e \(A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & 1 & -4 \\ 2 & -3 & 5 & 2 \\ 4 & 5 & -3 & -10 \\ 5 & -2 & 6 & -6 \end{array} \right)\)
En \(A\) a última fila é suma da primeira e segunda fila, polo que ese determinante dará 0, analizamos as outras posibles combinacións que nos quedan:
\(\left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 5 \\ 4 & 5 & -3 \end{array} \right| = 0\) e \(\left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & -3 \\ 5 & -2 & 6 \end{array} \right| = 0\) e \(\left| \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 4 & 5 & -3 \\ 5 & -2 & 6 \end{array} \right| = 0\)
Non temos menores de orde 3 distintos de 0, pero si temos de orde 2, \(\left| \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & -3 \end{array} \right| \neq 0\), logo \(\text{rg}(A) = 2\).
Para \(A^*\) temos por exemplo o menor de orde 3, \(\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -4 \\ -3 & 5 & 2 \\ -2 & 6 & -6 \end{array} \right| \neq 0\), polo que \(\text{rg}(A^*) = 3\).
O sistema é incompatible, as rectas son paralelas.
Entre recta e plano
Dada unha recta e un plano, \(r\) e \(\pi\), podemos estudiar a posición relativa que teñen no espacio ben analizando un punto da recta e o seu vector director xunto co vector normal do plano, ou ben analizando as súas ecuacións implícitas.
| \(P_r, \vec{v_r}\) e \(\vec{n_{\pi}}\) |
\[r: \left\{ \begin{array}{lcl} Ax + By + Cz + D & = & 0 \\ A'x + B'y + C'z + D' & = & 0 \end{array} \right.\] \[\pi: A''x + B''y + C''z + D'' = 0 \] |
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| Recta contida no plano | \(\vec{v_r} \perp \vec{n_{\pi}}, P_r \in \pi\) |
Sistema compatible indeterminado \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2\) |
| Paralelas | \(\vec{v_r} \perp \vec{n_{\pi}}, P_r \notin \pi\) |
Sistema incompatible \(\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3\) |
| Secantes | \(\vec{v_r} \not\perp \vec{n_{\pi}}\) |
Sistema compatible determinado \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3\) |
Exemplo 1.- Estudia a posición relativa entre a recta \(\displaystyle r: \frac{x + 2}{-2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 2}{1} \) e o plano \(\pi: 2x + 3y - 5z + 1 = 0\).
Temos que \(P_r (-2, 4, 2), \vec{v_r} = (-2, 3, 1)\) e \(\vec{n_{\pi}} = (2, 3, -5)\)
Facemos o producto escalar dos dous vectores para comprobar se son ou non perpendicuales:
\(\vec{v_r} \cdot \vec{n_{\pi}} = -2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-5) = -4 + 9 - 5 = 0 \implies \vec{v_r} \perp \vec{n_{\pi}}\)
Comprobamos agora se \(P_r \in \pi\): \(2 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 - 5 \cdot 2 + 1 = -4 + 12 - 10 + 1 = -1 \neq 0 \implies P_r \notin \pi\)
Polo tanto a recta é paralela ao plano.
Exemplo 2.- Estudia a posición relativa entre a recta \(r: \left\{ \begin{array}{lcl} x - 5y + 3z - 1 & = & 0 \\ 2x + y - z + 2 & = & 0 \end{array} \right.\) e o plano \(\pi: x + y + 2z - 4 = 0\).
Estudiamos o rango de \(A\) e \(A^*\).
\(A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -5 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)\) e \(A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 4 \end{array} \right)\)
\(|A| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & -5 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right| = 31 \neq 0\)
Polo que \(\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*)\), o sistema é compatible determinado, é dicir, o plano e a recta córtanse.
Entre dous planos
Dados dous planos, \(\pi\) e \(\pi'\), podemos estudiar a posición relativa que teñen no espacio ben analizando os seus vectores normais e puntos de cada un dos planos, ou ben analizando as súas ecuacións implícitas.
| \(P_{\pi}, \vec{n_{\pi}}\) e \(P_{\pi'}, \vec{n_{\pi'}}\) |
\[\pi: Ax + By + Cz + D = 0 \] \[\pi': A'x + B'y + C'z + D' = 0 \] |
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| Coincidentes | \(\vec{n_{\pi}} \sim \vec{n_{\pi'}}\), \(P_{\pi} \in \pi'\) |
Sistema compatible indeterminado \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 1\) |
| Paralelos | \(\vec{n_{\pi}} \sim \vec{n_{\pi'}}\), \(P_{\pi} \notin \pi'\) |
Sistema incompatible \(\text{rg}(A) = 1 \neq \text{rg}(A^*) = 2\) |
| Secantes | \(\vec{n_{\pi}} \nsim \vec{n_{\pi'}}\) |
Sistema compatible indeterminado \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2\) |
Exemplo.- Estudia de dous xeitos distintos a posición relativa dos planos \(\pi: 3x + 6y - 3z + 2 = 0\) e \(\pi': x + 2y - z + 5 = 0\).
Método 1
Temos que \(\vec{n_{\pi}} = (3, 6, -3)\) e \(\vec{n_{\pi'}} = (1, 2, -1)\), os vectores normais son proporcionais.
Tomamos un punto do plano \(\pi\), por exemplo (0, -1/3, 0), e comprobamos se pertence a \(\pi'\):
\(0 + 2 \cdot (-1/3) - 0 + 5 = 13/3 \neq 0\)
Polo tanto os planos son paralelos.
Método 2
Consideramos as matrices \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \end{array} \right)\) e \(A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 6 & -3 & -2 \\ 1 & 2 & -1 & -5 \end{array} \right)\)
Na matriz \(A\) como a segunda fila é a terceira que a primeira o rango vai ser 1. Pero na matriz \(A^*\) atopamos un menos de orde 2: \(A\left| \begin{array}{cc} -3 & -2 \\ -1 & -5 \end{array} \right| = 13 \neq 0\), polo que o rango será 2.
O sistema é incompatible, polo que os planos son paralelos.