O ángulo entre dous vectores: \(\vec{u}, \vec{v}\), defínese como o menor ángulo que determinan dous representantes seus coa mesma orixe, polo que \(0º \leq \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \leq 180º\).
Usando a definición de produto escalar, sabemos que: \(\displaystyle \cos \widehat{\vec{u}, \vec{v}} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}\)
Entre rectas
No caso de que sexan coincidentes ou paralelas, o ángulo determinado por elas será \(0º\).
No caso de que sexan secantes, defínese o ángulo entre elas como o menor ángulo que determinan.
E no caso de que se crucen, defínse o ángulo como o formado por dúas rectas paralelas ás orixinais que sexan secantes entre si.
En todos os casos \(0º \leq \widehat{r, s} \leq 90º\). Para calculalo consideranse os seus vectores directores: \(\vec{v_r}, \vec{v_s}\).
Sen embargo, o ángulo entre vectores pode ser obtuso, polo que debemos tomar o ángulo complementario, cuio coseno ten o mesmo valor absoluto:
\[\displaystyle \cos \widehat{(r, s)} = |\cos \widehat{\vec{v_r}, \vec{v_s}}| = \frac{|\vec{v_r} \cdot \vec{v_s}|}{|\vec{v_r}| |\vec{v_s}|}\]
Entre recta e plano
No caso de que a recta sexa paralela ou estea contida no plano, o ángulo entre eles será \(0º\).
Se a recta é secante ao plano, o ángulo entre unha recta e un plano defínese como o menos ángulo que se determina entre eles, polo que \(0º \leq \widehat{r, \pi} \leq 90º\). Para calculalo, considéranse os vectores \(\vec{v_r}\) e \(\vec{n_\pi}\).
Como \(\sin \alpha = \cos (90º - \alpha) = cos \beta\), sendo \(\alpha\) e \(\beta\) complementarios.
\[\displaystyle \sin \widehat{(r, \pi)} = |\cos \widehat{\vec{v_r}, \vec{n_\pi}}| = \frac{|\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi}|}{|\vec{v_r}| |\vec{n_\pi}|}\]
Entre planos
No caso que os planos sexan coincidentes ou paralelos, o ángulo determinado entre eles será \(0º\).
Se os planos son secantes, o ángulo entre dous planos defínese como o ángulo que forman as rectas perpendiculares á recta de corte que está contida en cada plano, polo que \(0º \leq \widehat{\pi, \pi'} \leq 90º\). Para calculalo, considéranse os vectores normais \(\vec{n_\pi}\) e \(\vec{n_{\pi'}}\).
Como o ángulo entre os vectores normais pode ser obtuso, tomamos o valor absoluto.
\[\displaystyle \cos \widehat{(\pi, \pi')} = |\cos \widehat{\vec{n_\pi}, \vec{n_{\pi'}}}| = \frac{|\vec{n_\pi} \cdot \vec{n_{\pi'}}|}{|\vec{n_\pi}| |\vec{n_{\pi'}}|}\]
