A recta no espacio | Matemáticas II

Para determinar unha recta no espacio, son suficientes dous puntos ou, equivalentemente, un punto e un vector lbre que marque a dirección da recta, ao que chamamos vector director.

Ecuación vectorial:

Dados un punto da recta \(P(x_o, y_0, z_0)\) e o vector director da mesma \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) verifícase que todo punto da recta \(X(x, y, z)\) cumple necesariamente que: \(\vec{OX} = \vec{OP} + \lambda \vec{v}\)

A ecuación vectorial da recta que pasa por \(P\) e de vector director \(\vec{v}\) é, polo tanto:

\[r: (x, y, z) = (x_o, y_o, z_o) + \lambda (v_1, v_2, v_3) \hspace{1cm} \lambda \in \mathbb{R}\]

Ecuacións paramétricas:

Operando coordenada a coordenada na ecuación vectorial temos:

\[ r: \left\{ \begin{array}{lcl} x & = & x_0 + \lambda v_1 \\ y & = & y_0 + \lambda v_2 \\ z & = & z_0 + \lambda v_3 \end{array} \right. \hspace{1cm} \lambda \in \mathbb{R}\]

Ecuación continua:

Eliminando o parámetro \(\lambda\) e igualando, obtemos:

\[\displaystyle r: \frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3} \]

Ecuacións implícitas:

Separando dous das tres ecuacións da ecuación continua, eliminando denominadores e pasando todo a un membro, obtemos: \( r: \left\{ \begin{array}{lcl} v_2x - v_1y + (v_1y_0 - v_2x_0) & = & 0 \\ v_3x - v_1z + (v_1z_0 - v_3x_0) & = & 0 \end{array} \right.\)

Calquera combinación desas ecuacións da lugar ás ecuacións implícitas da forma:

\[r: \left\{ \begin{array}{lcl} Ax + By + Cz + D & = & 0 \\ A'x + B'y + C'z + D' & = & 0 \end{array} \right.\]

Exemplos

Atopa todas as ecuacións da recta que pasa polos puntos \(A(1, 2, -1)\) e \(B(2, 1, 0)\).

Buscamos primeiro un vector director para a recta: \(\vec{AB} = (2, 1, 0) - (1, 2, -1) = (1, -1, 1)\)

Ecuación vectorial: \(r: (x, y, z) = (1, 2, -1) + \lambda (1, -1, 1)\)

Ecuacións paramétricas: \(r: \left\{\begin{array}{lll} x & = & 1 + \lambda \\ y & = & 2 - \lambda \\ z & = & -1 + \lambda \end{array}\right.\)

Ecuación continua: \(\displaystyle r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 1}{1}\)

Ecuacións implícitas: \(r: \left\{\begin{array}{lll} x - 1 & = & -y + 2 \\ x - 1 & = & z + 1 \end{array}\right. \implies r: \left\{\begin{array}{lll} x + y & = & 3 \\ x - z & = & 2 \end{array}\right.\)
Dada a recta de ecuacións implícitas \(r: \left\{\begin{array}{lll} x - y + z & = & 2 \\ 2x - y & = & 1 \end{array}\right.\) atopa:
a) Dous puntos de \(r\).
b) O seu vector director.
c) A ecuación vectorial de \(r\).

a) Consideramos \(x = 0\) e vemos canto teñen que valer \(y\) e \(z\) para que se cumpran as ecuacións da recta:

\(2 \cdot 0 - y = 1 \implies y = -1\), e por outro lado \(0 - (-1) + z = 2 \implies z = 1\)

Un punto da recta é \(A(0, -1, 1)\).

Consideramos agora \(x = 1\) e vemos canto teñen que valer \(y\) e \(z\) para que se cumpran as ecuacións da recta:
\(2 \cdot 1 - y = 1 \implies y = 1\), e por outro lado \(1 - 1 + z = 2 \implies z = 2\)

Un punto da recta é \(B(1, 1, 2)\).

b) O vector director é \(\vec{AB} = (1, 1, 2) - (0, -1, 1) = (1, 2, 1)\)

c) A ecuación vectorial é: \(r: (x, y, z) = (0, -1, 1) + \lambda (1, 2, 1)\)