O plano no espacio

Para determinar un plano no espacio, son suficientes tres puntos ou, equivalentemente, un punto e dous vectores linealmente independentes, que serán os vectores directores.

Ecuación vectorial:

Dados un punto do plano \(P(x_o, y_0, z_0)\) e dous vectores directores do mesma \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3), \vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) verifícase que todo punto do plano \(X(x, y, z)\) cumple necesariamente que: \(\vec{OX} = \vec{OP} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \)

A ecuación vectorial do plano que pasa por \(P\) e de vectores directores \(\vec{u}, \vec{v}\) é, polo tanto:

\[r: (x, y, z) = (x_o, y_o, z_o) + \lambda (u_1, u_2, u_3) + \mu (v_1, v_2, v_3) \hspace{1cm} \lambda, \mu \in \mathbb{R}\]

Ecuacións paramétricas:

Operando coordenada a coordenada na ecuación vectorial temos:

\[ r: \left\{ \begin{array}{lcl} x & = & x_0 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y & = & y_0 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\ z & = & z_0 + \lambda u_3 + \mu v_3 \end{array} \right. \hspace{1cm} \lambda, \mu \in \mathbb{R}\]

Ecuación implícita:

O sistema: \(\left\{ \begin{array}{lcl} \lambda u_1 + \mu v_1 & = & x - x_0 \\ \lambda u_2 + \mu v_2 & = & y - y_0 \\ \lambda u_3 + \mu v_3 & = & z - z_0 \end{array} \right.\)

Consideramos como as incógnitas \(\lambda, \mu\) e para estas o sistema debe ser compatible, é dicir, \(\text{rg } A = \text{rg } A^* = 2\) (temos dúas incógnitas). Polo que:

\(\left|\begin{matrix} u_1 & v_1 & x - x_0 \\ u_2 & v_2 & y - y_0 \\ u_3 & v_3 & z - z_0 \end{matrix}\right| = 0\)

Desenvolvendo teremos unha ecuación da seguinte forma:

\[\pi: Ax + By + Cz + D = 0\]

Ecuación normal:

Se desenvolvemos pola terceira columna o determinante anterior, obtemos \(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\)

Como \( \vec{n} = (A, B, C) = \left(\left|\begin{matrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{matrix}\right|, -\left|\begin{matrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{matrix}\right|, \left|\begin{matrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{matrix}\right|\right) = \vec{u} \times \vec{v} \implies \)

\(\vec{n}\) é un vector normal de \(\pi\).

A recta como corte de dous planos secantes

Como vimos, un plano no espacio ten unha única ecuación implícita, mentres que unha recta no espacio está formada por dúas ecuacións implícitas, cada unha delas corresponderá a un plano. É dicir, as ecuacións implícitas da recta representan xeométricamente o corte de dous planos secantes, cuios puntos en común son precisamente aqueles que pertencen á recta.

Exemplos

Atopa todas as ecuacións do plano que pasa por \(A(1, -1, 0), B(0, 2, 1)\) e \(C(1, 1, -1)\).

Buscamos dous vectores directores do plano: \(\vec{AB} = (-1, 3, 1)\) e \(\vec{BC} = (1, -1, -2)\)

Ecuación vectorial: \(\pi: (x, y, z) = (1, -1, 0) + \lambda(-1, 3, 1) + \mu(1, -1, -2)\)

Ecuacións paramétricas: \(\pi: \left\{\begin{array}{lll} x & = & 1 - \lambda + \mu \\ y & = & -1 + 3\lambda - \mu \\ z & = & \lambda - 2\mu \end{array}\right.\)

Ecuación implícita: \(\pi: \left|\begin{matrix} -1 & 1 & x - 1 \\ 3 & -1 & y + 1 \\ 1 & -2 & z \end{matrix}\right| = -5x - y - 2z + 4 = 0\)

Ecuación normal: \(\pi: -5(x - 1) - (y + 1) - 2z = 0\)
Dada a ecuación implícita \(\pi: x - 2y + z - 3 = 0\):
a) Atopa as coordenadas do vector normal do plano.
b) Atopa a ecuación normal do plano.
c) Atopa as coordenadas dos vectores directores do plano.

a) O vector normal ven dado polos coeficientes das variables na ecuación implícita, logo \(\vec{n} = (1, -2, 1)\).

b) Tomamos un punto do plano, por exemplo, consideramos \(x = 0, y = 1\), polo tanto, para que se cumpra a ecuación \(0 - 2 \cdot 1 + z - 3 = 0 \implies z = 5\). O plano pasa polo punto \(P(0, 1, 5)\).

A ecuación normal será: \(\pi: x - 2(y - 1) + (z - 5) = 0\)

c) Extraemos tres puntos non alienados do plano, por exemplo, \(P(0, 1, 5), Q(3, 0, 0), R(1, -1, 0)\) (non están alineados porque son linealmente independentes) e a partir deles caculamos dous vectores directores:

\(\vec{PQ} = (3, -1, -5) \hspace{2cm} \vec{PR} = (1, -2, -5)\)

Licenciado baixo a Licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 4.0