Ordinaria 2025
As cafeterías universitarias son espazos nos que, ademais de poder consumir alimentos e bebidas, en numerosas ocasións se empregan como puntos de encontro para outros eventos. Segundo os datos recollidos pola dirección da cafetería dunha facultade, o 65 % dos seus clientes son estudantes, o 25 % persoal da universidade e o 10 % restante son persoas alleas á universidade.
Co obxectivo de estudar se é necesario realizar modificacións na cafetería, os seus responsables analizaron datos sobre o tempo de espera ata que un cliente foi atendido e sobre a forma de realizar os pagamentos. Pode supoñerse que o tempo de espera ata que un cliente é atendido segue unha distribución aproximadamente normal, con media igual a 5 minutos e de tal modo que o 90 % dos clientes son atendidos antes de 8 minutos. Polos datos recollidos, chegaron á conclusión de que o 30 % dos estudantes efectúan os pagamentos en efectivo, sendo esta porcentaxe igual ao 70 % para o persoal da universidade, mentres que o 80% dos pagamentos realizados por persoas alleas á universidade se fan en efectivo.
1.1. (TEMA SEGUINTE)
1.2. Calcular a probabilidade de que un pagamento nesta cafetería non fose realizado en efectivo.
1.3. Se un pago se fixo en efectivo, que é máis probable, que fose realizado por estudantes ou por persoal da universidade?
Solución
1.2. Pola regra das probabilidades totais:
\(\displaystyle P\left(\overline{\text{Ef}}\right) = P\left(\overline{\text{Ef}} | E\right) \cdot P(E) + P\left(\overline{\text{Ef}} | PU\right) \cdot P(PU) + P\left(\overline{\text{Ef}} | PA\right) \cdot P(PA) = 0,7 \cdot 0,65 + 0,3 \cdot 0,25 + 0,2 \cdot 0,1 = 0,55\)
Hai unha probabilidade do 55 % de que o pago non se faga en efectivo.
1.3. O que se quere averiguar é cal é maior se \(P(E|\text{Ef})\) ou \(P(PU|\text{Ef})\)
Polo teorema de Bayes:
\(\displaystyle P(E|\text{Ef}) = \frac{P(\text{Ef}|E) \cdot P(E)}{P(\text{Ef})} = \frac{0,3 \cdot 0,65}{0,45} = 0,4333\)
\(\displaystyle P(PU|\text{Ef}) = \frac{P(\text{Ef}|PU) \cdot P(PU)}{P(\text{Ef})} = \frac{0,7 \cdot 0,25}{0,45} = 0,3889\)
É máis probable que un pago en efectivo o fora feito por un estudante.
Extraordinaria 2025
Nos últimos anos, hai unha tendencia que segue en aumento: empregar calzado deportivo non unicamente para realizar actividade física, senón como calzado de uso diario. Os motivos principais son a súa versatilidade e comodidade, xa que poden combinarse con case calquera vestimenta ao mesmo tempo que permiten realizar movementos naturais.
Antón é un apaixonado deste tipo de calzado, do que ten 60 pares, gardando cada par na súa correspondente caixa. O 80 % son zapatillas tradicionais e o 20% zapatillas de deseño. Entre as zapatillas de deseño, o 75 % están en bo estado, pero só o 50 % das zapatillas tradicionais están en bo estado. Un día que se ergueu co tempo xusto, para non chegar tarde ao traballo, colleu ao azar unha caixa e calzou as zapatillas desa caixa.
Responda estes tres apartados: 1.1., 1.2. e 1.3.
1.1. Cal é a probabilidade de que Antón vaia calzado con zapatillas tradicionais ou zapatillas en bo estado?
1.2. Ao saír do traballo, Antón decide ir ao cine con dous amigos. Antón non quere levar calzadas zapatillas que non estean en bo estado nin zapatillas tradicionais, cal sería a probabilidade de que non teña que pasar pola súa casa a cambiar as zapatillas?
1.3. Antón ten 8 pares de zapatillas tradicionais de cor branca. Sabendo que se se escolle ao azar unha caixa das súas zapatillas os sucesos “ser brancas” e “ser de deseño” son sucesos independentes, cantos pares de zapatillas brancas de deseño ten Antón?
Solución
1.1. \(P(T \cup B) = P(T) + P(B) - P(T \cap B)\)
Pola regra de probabilidades totais:
\(P(B) = P(B|T) \cdot P(T) + P(B|D) \cdot P(D) = 0,5 \cdot 0,8 + 0,75 \cdot 0,2 = 0,55\)
\(\displaystyle P(B|T) = \frac{P(B \cap T)}{P(T)} \implies 0,5 = \frac{P(B \cap T)}{0,8} \implies P(B \cap T) = 0,5 \cdot 0,8 = 0,4\)
Logo \(P(T \cup B) = 0,8 + 0,55 - 0,4 = 0,95\)
Antón vai calzado con zapatillas tradicionais ou zapatillas en bo estado o 95 % das veces.
1.2. Antón quere zapatillas en bo estado e de deseño, logo \(P(B \cap D)\)?
\(\displaystyle P(B|D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} \implies 0,75 = \frac{P(B \cap D)}{0,2} \implies P(B \cap D) = 0,15\)
Non ten que pasar pola casa se leva zapatillas en bo estado e de deseño, e ten unha probabilidade do 15 % de levalas.
1.3. Ser brancas e ser de deseño son sucesos independentes, é dicir, \(P(\text{Branca} \cap D) = P(\text{Branca}) \cdot P(D)\).
Se sabemos a probabilidade de ser branca como ten 60 pares de zapatillas, saberemos cantas zapatillas brancas ten.
\(\displaystyle P(\text{Branca}) = P(\text{Branca} | T) \cdot P(T) + P(\text{Branca} | D) \cdot P(D) = P(\text{Branca} \cap T) + P(\text{Branca} \cap D) = \frac{8}{60} + P(\text{Branca}) \cdot 0,2 \implies\)
\(\displaystyle \implies P(\text{Branca}) - 0,2 P(\text{Branca}) = \frac{8}{60} \implies 0,8 P(\text{Branca}) = \frac{8}{60} \implies P(\text{Branca}) = \frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \frac{1}{6}\) das zapatillas son brancas, o que supón 10 pares de zapatillas.
Desas, 8 son tradicionais, logo haberá dous pares de zapatillas brancas e de deseño.