... E agora que?

Ordinaria 2025

Determine o valor que debe tomar \(k\) para que os planos:

\[\pi_1: kx + y + \frac{1}{4}z + 2 = 0 \hspace{1cm} \text{e} \hspace{1cm} \pi_2: 3x + 4y + z + 3 = 0\]

sexan paralelos. Calcule tamén o valor de \(k\) que fai que eses mesmos planos sexan perpendiculares.

Solución

Para que os planos sexan paralelos os vectores normais do plano teñen que ser proporcionais:

Temos \(\vec{n_{\pi_1}} = \left(k, 1, \frac{1}{4}\right)\) e \(\vec{n_{\pi_2}} = (3, 4, 1)\). Tense que cumprir:

\[\frac{k}{3} = \frac{1}{4} = \frac{\frac{1}{4}}{1} \implies k = \frac{3}{4}\]

Para que os planos sexan perpendiculares os vectores normais do plano teñen que perpendiculares:

Se os vectores son perpendiculares o seu produto escalar é cero: \(\displaystyle \vec{n_{\pi_1}} \cdot \vec{n_{\pi_2}} = \left(k, 1, \frac{1}{4}\right) \cdot (3, 4, 1) = 3k + 4 + \frac{1}{4} = 0 \implies k = -\frac{17}{12}\)

Extraordinaria 2025

Considérense os planos \(\pi: 2x + 3y + z + 1 = 0\) e \(\pi': x + z - 1 = 0\) e os puntos \(A(2, 1, 0)\) e \(B(-1, -2, 3)\).

a) Calcule a distancia do punto \(A\) ao plano paralelo a \(\pi\) que pasa por \(B\).
b) (TEMA ANTERIOR)

Solución

a) Primeiro vemos cal é o plano ao que queremos calcular a distancia:

Como o plano é paralelo a \(\pi\) o vector normal é o mesmo, polo que o plano terá a forma \(\pi_1: 2x + 3y + z + D = 0\). Ademais pasa polo punto \(B\), polo que se cumpre \(\pi_1: 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) + 3 + D = 0 \implies D = 5\). Logo o plano ao que queremos calcular a distancia é: \(\pi_1: 2x + 3y + z + 5 = 0\)

Logo:

\[d(A, \pi_1) = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 0 + 5}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{12}{\sqrt{14}}\]

Extraordinaria 2025

Dadas as rectas \(r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{1}\) e \(s: \frac{x - 2}{4} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 1}{2}\)

a) Calcule a posición relativas das rectas \(r\) e \(s\).
b) (TEMA ANTERIOR).

Solución

a) Para ver a posición relativa comezamos comparando os vectores directores das rectas:

Temos \(\vec{v_r} = (2, -1, 1)\) e \(\vec{v_s} = (4, -2, 2)\), que son proporcionais, xa que as coordenadas de \(\vec{v_s}\) son o dobre que as de \(\vec{v_r}\).

Logo as rectas serán paralelas ou coincidirán. Para comprobar se coinciden, vemos se un punto da recta \(r\) está na recta \(s\).

¿\(P_r(1, 2, 1) \in s\)?

\(\displaystyle s: \frac{1 - 2}{4} = \frac{2 - 1}{-2} = \frac{1 - 1}{2} \implies \frac{-1}{4} = \frac{1}{-2} = \frac{0}{2}\) FALSO

Logo \(P_r(1, 2, 1) \notin s\), polo que as rectas non son coincidentes, son paralelas.