Un espacio vectorial é un conxunto no que se definen dúas operacións, unha interna (a suma dos seus elementos) e outra externa (producto dos seus elementos por outros diferentes).
O conxunto dos vectores do espacio coas operacións da suma de vectores e a multiplicación por un escalar é un espacio vectorial chamado \(V_3\).
Unha combinación lineal de vectores é a expresion que se obtengan ao multiplicar cada un deles por un escalar e sumar os resultados.
Se os vectores son \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3},..., \vec{v_n}\) e os escalares son \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3,..., \lambda_n\) unha combinación lineal de todos eles é:
\[\lambda_1\vec{v_1} + \lambda_2\vec{v_2} + \lambda_3\vec{v_3} + ... + \lambda_n\vec{v_n}\]
Sexan \(n\) vectores \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3},..., \vec{v_n}\). Se un o máis podense obter como combinación lineal dos outros, entón os vectores son linealmente dependentes.
Se ningún dos vectores se pode expxresa como combinación lineal dos demais, entónces os vectores son linealmente independentes.
Unha base é un conxunto de vectores linealmente independentes tales que calquera vector do espacio vectorial pódese expresar como combinación lineal de eles.
Dependendo dos vectores que forman as bases, estas poden ser:
No espacio, a base ortonormal recibe o nome de base canónica, e está formada por:
\[B = {\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}} \text{ con } \vec{i} \perp \vec{j}, \vec{i} \perp \vec{k}, \vec{j} \perp \vec{k} \text{ e } |\vec{i}| = 1, |\vec{j}| = 1, |\vec{k}| = 1 \]
Todo vector libre \(\vec{v}\) do espacio pódese expresar como combinación lineal de \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\), de forma que \(\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}\). Á terna de número \((a, b, c)\) son as coordenadas do vector libre \(\vec{v}\).
En \(\mathbb{R}^3\) se temos 3 vectores que son linealmente independentes estes formarán unha base.
Dados os vectores \(\vec{u} = (1, 0, -1), \vec{v} = (0, 1, 2), \vec{w} = (1, -1, 1)\).
a) Estudia se forman unha base.
b) Expresa o vector \(\vec{x} = (-3, 2, -1)\) como combinación lineal destes vectores.
Para que formen base, teñen que ser linealmente independentes. Se son linealmente dependentes, un deles expresarase como combinación lineal dos outros. Logo se igualamos unha combinación lineal deles a 0. Se o sistema ten unha única solución (a trivial, os tres escalares son 0) non habería xeito de expresar un deles en función dos outros, logo o que buscamos é ter infinitas solucións, un sistema compatible indeterminado.
a) \(\lambda_1 (1, 0, -1) + \lambda_2 (0, 1, 2) + \lambda_3 (1, -1, 1) = (0, 0, 0)\)
\((\lambda_1 + \lambda_3, \lambda_2 - \lambda_3, -\lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_3) = (0, 0, 0)\)
\(\left\{ \begin{array}{lll} \lambda_1 + \lambda_3 & = & 0 \\ \lambda_2 - \lambda_3 & = & 0 \\ -\lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_3 & = & 0 \end{array} \right. \rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right| = 1 + 3 + 2 = 6 \neq 0\)
Trátase dun sistema homoxéneo compatible determinado, polo que a súa única solucion é \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\), é dicir, os vectores son linealmente independentes e, polo tanto, forman unha base de \(V_3\).
b) Hai que atopar os valores \(a, b, c\) que permiten obter \(\vec{x}\) como unha combinación lineal, é dicir, \(\vec{x} = a(1, 0, -1) + b(0, 1, 2) + c(1, -1, 1)\).
Operando, igualando os resultados e resolvendo o sistema, temos:
\[(-3, 2, -1) = (a + c, b - c, -a + 2b + c) \rightarrow \left\{ \begin{array}{lll} a + c & = & -3 \\ b - c & = & 2 \\ -a + 2b + c & = & -1 \end{array} \right. \rightarrow a = -1, b = 0, c = -2\]
Así, a combinación lineal é \(\vec{x} = -(1, 0, -1) - 2(1, -1, 1)\).
Licenciado baixo a Licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 4.0