... E agora que?

Ordinaria 2025

Considérense o punto \(P(0, 1, 0)\) e a recta \(r: (x, y, z) = (2, 0, 3) + \lambda (1, 2, 3), \lambda \in \mathbb{R}\).

a) Determine a ecuación continua da recta \(s\) que é paralela a \(r\) e pasa polo punto \(P\).

b) Obteña a ecuación implícita ou xeral do plano \(\pi\) que pasa por \(P\) e é perpendicular a \(r\).

Solución

a) Se é paralela ten o mesmo vector director, logo:

\[s: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{3}\]

b) Se o plano é perpendicular a r, quere dicir que o vector normal do plano coincide co vector director de r, logo temos que: \(\pi: x + 2y + 3z + D = 0\). Como pasa por \(P\), o punto ten que cumprir a ecuación do plano, polo que:

\(0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + D = 0 \implies D = -2\)

Polo que \(\pi: x + 2y + 3z - 2 = 0\)

Extraordinaria 2025

Considérense os planos \(\pi: 2x + 3y + z + 1 = 0\) e \(\pi': x + z - 1 = 0\) e os puntos \(A(2, 1, 0)\) e \(B(-1, -2, 3)\).

a) (TEMA SEGUINTE).
b) Obteña as ecuacións paramétricas da recta intersección dos planos \(\pi\) e \(\pi'\).

Solución

b) Se é a recta intersección as ecuacións implícitas de de r son:

\[r: \left\{ \begin{array}{lcl} 2x + 3y + z + 1 & = & 0 \\ x + z - 1 & = & 0 \end{array} \right.\]

Con esas ecuación escollo dous puntos, por exemplo:
\(x = 0 \implies 0 + z - 1 = 0 \implies z = 1\) e na primeira ecuación \(2 \cdot 0 + 3y + 1 + 1 = 0 \implies y = -2/3\)

\(x = 1 \implies 1 + z - 1 = 0 \implies z = 0\) e na primeira ecuación \(2 \cdot 1 + 3y + 0 + 1 = 0 \implies y = -1\)

Dados estes dous puntos \(A(0, -2/3, 1), B(1, -1, 0)\), podemos calcular o vector director da recta que pasa por eles: \(\vec{AB} = (1, -1/3, -1)\)

Escribimos agora as ecuacións paramétricas:

\[ r: \left\{ \begin{array}{lcl} x & = & 1 + \lambda \\ y & = & -1 - \lambda/3 \\ z & = & -\lambda \end{array} \right. \hspace{1cm} \lambda \in \mathbb{R}\]

Extraordinaria 2025

Dadas as rectas \(\displaystyle r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{1}\) e \(\displaystyle s: \frac{x - 2}{4} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 1}{2}\)

a) (TEMA SEGUINTE).
b) Obteña a ecuación do plano que contén ás rectas \(r\) e \(s\).

Solución

Se o plano contén ás rectas temos os vectores directores delas como vectores do plano: \(\vec{v_r} = (2, -1, 1)\) e \(\vec{v_s} = (4, -2, 2)\)

Neste caso no nos valen estes dous vectores directores, posto que son proporcionais, o que quere dicir que \(r\) e \(s\) son paralelas, para obter un novo vector director do plano, collemos dous puntos do plano e calculamos o vector que os une, collemos os puntos que nos dan as ecuacións das rectas dadas: \(P_r(1, 2, 1), P_s(2, 1, 1)\) e \(\vec{P_rP_s} = (1, -1, 0)\)

Temos agora dous vectores directores e polo menos un punto do plano, escribimos a ecuación do plano, como non nos indican cal, podemos escribir a que consideremos pero indicando que ecuación é:

Ecuación vectorial do plano: \(\pi: (x, y, z) = (1, 2, 1) + \lambda (2, -1, 1) + \mu (1, -1, 0)\)