Tipos de transformaciones elementales

Existen tres tipos de transformaciones elementales que se pueden aplicar a una función y a su gráfica:

• Traslaciones (sumas y restas).
• Simetrías (elemento opuesto).
• Dilataciones y contracciones (productos y cocientes).

Transformaciones verticales y horizontales

Estas transformaciones elementales se pueden aplicar a la variable independiente o a toda la función:

• Cuando se aplican a la variable independiente se produce una transformación en sentido horizontal.
• Cuando se aplican a toda la función se produce una transformación en sentido vertical.

Dado el número \( \mathsf{k \in \mathbb{R},\,k>0} \) y conocida la gráfica de la función \( \mathsf{f\left(x\right)} \) se tiene que ...

Traslaciones verticales

• La gráfica de la función \( \mathsf{g\left(x\right)=f\left(x\right)+k} \) se obtiene trasladando \( \mathsf{k} \) unidades hacia arriba la gráfica de \( \mathsf{f\left(x\right)} \).
• La gráfica de la función \( \mathsf{g\left(x\right)=f\left(x\right)-k} \) se obtiene trasladando \( \mathsf{k} \) unidades hacia abajo la gráfica de \( \mathsf{f\left(x\right)} \).

Traslaciones horizontales

• La gráfica de la función \( \mathsf{g\left(x\right)=f\left(x+k\right)} \) se obtiene trasladando \( \mathsf{k} \) unidades hacia la izquierda la gráfica de \( \mathsf{f\left(x\right)} \).
• La gráfica de la función \( \mathsf{g\left(x\right)=f\left(x-k\right)} \) se obtiene trasladando \( \mathsf{k} \) unidades hacia la derecha la gráfica de \( \mathsf{f\left(x\right)} \).

Conocida la gráfica de la función \( \mathsf{f\left(x\right)} \) se tiene que ...

• La gráfica de \( \mathsf{g\left(x\right)=-f\left(x\right)} \) es simétrica de la gráfica de \( \mathsf{f\left(x\right)} \) respecto al eje horizontal OX.
• La gráfica de \( \mathsf{g\left(x\right)=f\left(-x\right)} \) es simétrica de la gráfica de \( \mathsf{f\left(x\right)} \) respecto al eje vertical OY.

Dado el número \( \mathsf{k \in \mathbb{R},\,k>0} \) y conocida la gráfica de la función \( \mathsf{f\left(x\right)} \) se tiene que ...

Dilataciones y contracciones verticales

• La gráfica de la función \( \mathsf{g\left(x\right)=k \cdot f\left(x\right)} \) se obtiene dilatando verticalmente la gráfica de la función \( \mathsf{f\left(x\right)} \) por un factor \( \mathsf{k} \).
• La gráfica de la función \( \mathsf{g\left(x\right)=\dfrac{1}{k} \cdot f\left(x\right)} \) se obtiene contrayendo verticalmente la gráfica de la función \( \mathsf{f\left(x\right)} \) por un factor \( \mathsf{k} \).

Dilataciones y contracciones horizontales

• La gráfica de la función \( \mathsf{g\left(x\right)=f\left(k \cdot x\right)} \) se obtiene contrayendo horizontalmente la gráfica de la función \( \mathsf{f\left(x\right)} \) por un factor \( \mathsf{k} \).
• La gráfica de la función \( \mathsf{g\left(x\right)=f\left(\dfrac{1}{k} \cdot x\right)} \) se obtiene dilatando horizontalmente la gráfica de la función \( \mathsf{f\left(x\right)} \) por un factor \( \mathsf{k} \).