En el mismo parking público el precio unitario sigue siendo \( \mathsf{3\ \cfrac{\text{\large €}}{h}} \), pero ahora hay que pagar una cuota de entrada de \( \mathsf{\text{1 {\large €}}} \). Nuevamente, para facilitar los cálculos a su clientela, el encargado ha elaborado otra tabla de costes en función del tiempo de aparcamiento

Si definimos la variable \( \mathsf{x} \) como el tiempo de aparcamiento, en horas, y \( \mathsf{c\left(x\right)} \) como el coste en función de dicho tiempo, entonces podríamos expresar la relación entre ambas magnitudes:

\( \mathsf{c\left(x\right)=3x+1} \)

Ahora bien, si dividimos cada coste entre su tiempo correspondiente podemos observar que

\( \mathsf{\dfrac{4}{1} \ne \dfrac{7}{2} \ne \dfrac{10}{3} \ne \dfrac{13}{4} \ne \dfrac{15}{5} \ne 3} \)

y, por tanto, las dos magnitudes no son directamente proporcionales.

Sin embargo, sigue existiendo una relación de proporcionalidad directa entre los incrementos de ambas variables. En efecto,

\( \mathsf{\dfrac{7-4}{2-1}=\dfrac{10-7}{3-2}=\dfrac{13-10}{4-3}=\dfrac{16-13}{5-4}=3} \)

que hemos definido previamente como la pendiente o inclinación de una recta.

A continuación, puedes ver la representación gráfica de estos valores y comprobar que también se representan mediante una recta que tiene la misma pendiente que la recta de la situación del apartado anterior.

Si representásemos las rectas de estas dos situaciones anteriores en un mismo eje de coordenadas, podríamos comprobar que dichas rectas van a ser paralelas puesto que tienen la misma pendiente o inclinación, pero pasan por puntos distintos.

Se define la función afín como la función polinómica de primer grado que tiene la siguiente expresión

\( \mathsf{f\left(x\right)=m \cdot x+n \qquad m,\,n \in \mathbb{R}} \)

Su representación gráfica es una recta que no pasa por el origen \( \mathsf{(0,0)} \) donde \( \mathsf{m} \) es la pendiente o inclinación de la recta y \( \mathsf{n} \) es la ordenada en el origen.

Tal y como su nombre indica, se define la ordenada en el origen como el valor que tiene la ordenada \( \mathsf{y} \) en el origen \( \mathsf{x=0} \), es decir, es la imagen de \( \mathsf{x=0} \). Así pues

\( \mathsf{n=f(0)} \)

Gráficamente, se interpreta la ordenada en el origen como la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas \( \mathsf{OY} \), es decir,

\( \mathsf{P=\left(0,n\right)} \)

En el ejemplo anterior, la función es \( \mathsf{f\left(x\right)=\dfrac{2}{3} \cdot x+1} \) y su ordenada en el origen \( \mathsf{n=1} \) y, como puedes observar, la gráfica de la función corta al eje de ordenadas \( \mathsf{OY} \) en el punto \( \mathsf{\left(0,1\right)} \).

En el caso de que \( \mathsf{n=0} \), entonces la expresión de la función afín es

\( \mathsf{f\left(x\right)=m \cdot x \qquad m \in \mathbb{R}} \)

es decir, se trata de una función lineal o de proporcionalidad directa.