Supongamos que se lanza una pelota desde una determinada posición y queremos estudiar la trayectoria que describe. Para ello, registramos sus datos de posición en la siguiente tabla teniendo en cuenta la distancia a la que se encuentra desde el punto de lanzamiento y la altura correspondiente que alcanza en dicha distancia.

Si definimos la variable \( \mathsf{x} \) como la distancia al punto de lanzamiento, en metros, y \( \mathsf{a\left(x\right)} \) como la altura que alcanza la pelota a dicha distancia, también en metros, entonces podríamos expresar la relación entre ambas magnitudes:

\( \mathsf{c\left(x\right)=-0,05 \cdot x^2+2x} \)

A continuación, puedes ver las representación gráfica de estos valores y comprobar que se representan mediante una parábola.

Se define la función cuadrática como la función polinómica de segundo grado que tiene la siguiente expresión algebraica

\( \mathsf{y=f\left(x\right)=a \cdot x^2+b \cdot x+c \qquad a,b,c \in \mathbb{R}, a \ne 0} \)

Su representación gráfica es una parábola donde los coeficientes de su expresión algebraica están relacionados con sus elementos gráficos.

El coeficiente cuadrático \( \mathsf{a \in \mathbb{R}, a \ne 0} \) establece la forma de la parábola.

• Si \( \mathsf{a>0} \), entonces la función es convexa (o cóncava hacia arriba).

• Si \( \mathsf{a<0} \), entonces la función es cóncava (o cóncava hacia abajo).

El coeficiente lineal \( \mathsf{b \in \mathbb{R}} \) establece la abscisa del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola. En consecuencia, el eje de simetría pasa por el vértice de la parábola.

El término independiente \( \mathsf{c \in \mathbb{R}} \) es la ordenada en el origen, esto es, es el valor que tiene la ordenada \( \mathsf{y} \) en el origen \( \mathsf{x=0} \), es decir, es la imagen de \( \mathsf{x=0} \). Así pues

\( \mathsf{n=f(0)} \)

Gráficamente, se interpreta la ordenada en el origen como la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas \( \mathsf{OY} \), es decir,

\( \mathsf{P=\left(0,c\right)} \)

A partir de los coeficientes de su expresión algebraica se pueden hallar o deducir las características de la función cuadrática.

Las coordenadas del vértice \( \mathsf{V=\left(x_V,y_V\right)} \)  se calculan de la siguiente forma

\(
\begin{array}{rcl}
\mathsf{x_V} & = & \mathsf{-\dfrac{b}{2a}} \\
\mathsf{y_V} & = & \mathsf{f\left(x_V\right)}
\end{array}
\)

• Con el eje OX

Para calcular los puntos de corte con el eje OX hay que resolver la ecuación \( \mathsf{ax^2+bx+c=0} \).

Las soluciones \( \mathsf{x_1} \) y \( \mathsf{x_2} \) son las abscisas de los puntos de corte con el eje OX, es decir, dichos puntos de corte son \( \mathsf{\left(x_1,0\right)} \) y \( \mathsf{\left(x_2,0\right)} \). 

• Con el eje OY

El punto de corte con el eje OY es \( \mathsf{P=\left(0,c\right)} \).

El eje de simetría de la parábola tiene la siguiente ecuación

\( \mathsf{x=x_V} \)

Y, por tanto, dicho eje de simetría pasa por el vértice de la parábola. En consecuencia, se tiene la siguiente propiedad

\( \mathsf{f\left(x_V-k\right)=f\left(x_V+k\right) \qquad k \in \mathbb{R}} \)