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Cubicando

Torre de Hércules

La Torre de Hércules, el faro romano más antiguo aún en funcionamiento, es un símbolo de resistencia y precisión . Su torre, de base cuadrangular, y su parte superior, octogonal, demuestran cómo la geometría se convierte en ingeniería.

¡Podemos inspirarnos en esta maravilla para aprender sobre los prismas!

Lectura facilitada

La Torre de Hércules es el faro romano más antiguo que sigue funcionando —explicó don Xulián—.

—Su torre tiene forma de prisma cuadrangular y su parte superior es octogonal.

—Esto demuestra cómo la geometría se convierte en ingeniería.

—¡Es increíble! —dijo Uxía emocionada—. ¡Podemos aprender sobre los prismas inspirándonos en esta maravilla!

Siguiendo su ejemplo, investigaremos sus elementos y aprenderemos a calcular su área y volumen.

¿Listos para descubrir los secretos de esta antigua construcción?

Volumen de un ortoedro

En el siguiente applet tienes un ortoedro formado por cubos de 1 unidad cúbica (1 u³). 

  • Ajusta los deslizadores para cambiar el largo, el ancho y la altura del prisma.
  • Observa cómo varía el número total de cubos a medida que modificas estas dimensiones.

Preguntas

  1. ¿Cómo cambia el volumen cuando aumentas la altura del prisma?
  2. Si cambias el largo y el ancho del prisma, ¿cómo afecta esto al volumen?
  3. ¿Cómo puedes calcular el volumen del prisma sin contar los cubos uno a uno?
  4. ¿Qué relación encuentras entre las dimensiones (largo, ancho, altura) y el volumen del prisma?

https://www.geogebra.org/m/gmjmefvs (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/gmjmefvs,GG_MAT2ESO_REA08_Contando_cubos,1,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Fórmula

Para calcular el volumen de un prisma rectangular, podemos contar cuántos cubos de 1 u³ caben dentro de él.

Si llamamos
a,
b y
c al número de cubos que caben a lo largo, a lo ancho y a lo alto del prisma, el número total de cubos se obtiene multiplicando a \cdot b \cdot c.

Por lo tanto, la fórmula del volumen de un prisma rectangular recto es:

Donde , y c son las dimensiones del prisma (largo, ancho y altura).

Practica volumen de ortoedros

Calcula el volumen de los siguientes ortoedros.

Cada respuesta correcta suma 2 puntos y cada fallo resta 1 punto. La puntuación máxima es 10.

https://www.geogebra.org/m/rybymevj (Ventana nueva)

(Guardar la puntuación)
Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/rybymevj,GG_MAT2ESO_REA08%20Volumen%20de%20prisma-autoevaluable,1,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Volumen de un prisma

En el siguiente applet se muestran dos representaciones de un prisma:

  • El prisma completo, cortado en secciones (rebanadas) horizontales.
  • Las mismas rebanadas, desplazadas horizontalmente para formar una figura distinta.

https://www.geogebra.org/m/vhncxtdj (Ventana nueva)

Proxecto%20cREAgal,https%3A//www.geogebra.org/m/vhncxtdj,GG_MAT2ESO_REA08_Principio%20de%20Cavalieri_Ortoedro,1,Autor%EDa
Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

Preguntas: 

  1. ¿Qué puedes decir sobre las rebanadas de las dos figuras? ¿Son iguales en tamaño y forma? 
  2. ¿Tienen las figuras la misma altura total? 
  3. Si las rebanadas tienen el mismo área y altura, ¿el volumen total será el mismo o diferente? ¿Por qué? 
  4. ¿Importa cómo están organizadas las rebanadas para determinar el volumen?

Principio de Cavalieri

Si dos figuras tienen:

  • La misma altura.
  • Y las secciones paralelas a la base (rebanadas) tienen igual área.

Entonces, los volúmenes de ambas figuras serán iguales, sin importar cómo estén organizadas las secciones ni su forma.

Fórmula del volumen de un prisma

Utilizando el principio de Cavalieri, deducimos la fórmula general para calcular el volumen de un prisma:

Volumen del prisma = Área de la base · Altura del prisma

El volumen de la Torre de Hércules

Imagina que la torre necesita instalar un nuevo sistema de ventilación para mejorar la comodidad de los visitantes y proteger la estructura de la humedad.

Para diseñar este sistema, necesitamos calcular el volumen de dos partes principales de la Torre de Hércules:

  • La torre cuadrangular (base del faro).
  • La sección octogonal situada debajo de la linterna.

Ignoraremos las escaleras y divisiones internas para simplificar el cálculo.

Plano de la Torre de Hércules
Galiciana. Plano de la Torre de Hércules (CC BY-NC-ND)

1. La torre cuadrangular

La base del faro es un prisma cuadrangular con las siguientes medidas:

  • Lado del cuadrado: 11,75 m.
  • Altura del prisma: 32,37 m.
Prisma cuadrangular

2. La linterna

La sección situada debajo de la lámpara del faro es un prisma octogonal con las siguientes medidas:

  • Lado del octógono: 1,9 m.
  • Radio del octógono: 2,5 m.
  • Altura del prisma: 4,5 m.
Prisma octogonal

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