Distribución normal

Para o caso das variables aleatorias continuas veremos un exemplo de distribución de probabilidade, a distribución normal.

Unha variable aleatoria, \(X\), segue unha distribución de probabilidade normal \(N(\mu, \sigma)\) se:

a variable aleatoria é continua
depende dos parámetros \(\mu\), media da variable aleatoria, e \(\sigma\), desviación típica da variable aleatoria
a súa función de densidade ten a forma \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-1}{2}\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^2}\), que é unha función simétrica respecto á media (NOTA: non hai que aprenderse esta expresión, pero si que é simétrica)

A representación gráfica deste función recibe o nome de campana de Gauss.


O eixe vertical, que marca a simetría, 
indicaría o valor da media

(Tal e como sabemos pola definición de función de densidade a área baixo toda a curva vai ser 1)

Distribución normal estándar N(0, 1)

A distribución normal pode ter calquera media ou desviación típica, pero existe un caso concreto no que imos basear os nosos cálculos. Trátase da distribución normal estándar, que neste caso \(\mu = 0\) e \(\sigma = 1\), é dicir, \(N(0, 1)\).

Para calcular a probabilidade non teremos que recurrir a esta expresión da integral, a calcularemos a partir dunha táboa que nos da o valor da función de distribución \(F(z_0) = P(Z < z_0)\). Consideracións na táboa:

A letra que se usa para indicar que nos estamos a referir a unha variable aleatoria normal estándar é a Z.
Ten en conta que como se trata da \(N(0, 1)\) a línea do centro marca o 0.
Na táboa non temos tódolos valores de z, so valores positivos. Para valores negativos de z, podemos calcular a probabilidade por simetría respecto a media \(\mu = 0\).
Se con esta táboa temos que calcular a probabilidade de \(P(Z \geq z_0)\) o facemos tendo en conta que toda a área vale 1.
Recorda que a probabilidade nun punto nunha variable aleatoria continua é cero, logo é o mesmo \(P(Z \leq z_0)\) que \(P(Z < z_0)\).
A probabilidade entre dous puntos podemos facela como a resta de dúas probablidades: \(P(z_1 \leq Z \leq z_2) = P(Z \leq z_2) - P(Z \leq z_1)\)

Táboa \(F(z)\) para \(N(0,1)\)

Táboa da normal

Descargar táboa (.pdf)

Calcula para \(N(0, 1)\) as seguintes probabilidades:

\(P(Z \leq 2,27) = 0,9884\)
\(P(Z \geq 0,60) = 1 - P(Z \leq 0,60) = 1 - 0,7257 = 0,2743\)
\(P(Z < 1,53) = 0,9370\)
\(P(Z \leq -2,27) = 1 - P(Z \leq 2,27) = 1 - 0,9884 = 0,0116\)
\(P(Z \geq -0,60) = P(Z \leq 0,60) = 0,7257\)
\(P(1,53 \leq Z \leq 2,27) = P(Z \leq 2,27) - P(Z \leq 1,53) = 0,9884 - 0,9370 = 0,0514\)

Inda que o habitual é usar a táboa indicada e polo tanto, as indicacións para a probabilidade son como aparecen no exemplo, existen outro tipo de táboas (por exemplo, para valores \(P(Z > z_0)\) ou para valores \(P(\mu < Z < z_0)\) sendo \(\mu = 0\)). Sempre na parte superior da táboa hai un debuxo que non indica que área nos están dando.

Cando temos unha distribución normal con diferente media e varianza a normal estándar, para calcular as probabilidades facemos o que se coñece como tipificar a variable, deste xeito expresamos calquera distribución normal en termos da normal estándar. Esto se fai como se indica:

\[X \in N(\mu, \sigma) \iff Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \in N(0,1)\]

Por exemplo, considera a variable \(X \in N(1,3)\). Calcula as seguintes probabilidades:

\(\displaystyle P(X \leq 4) = P\left(\frac{X - 1}{3} \leq \frac{4 - 1}{3}\right) = P(Z \leq 1) = 0,8413\)
\(\displaystyle P(0,5 \leq X \leq 2) = P\left(\frac{0,5 - 1}{3} \leq \frac{X - 1}{3} \leq \frac{2 - 1}{3}\right) = P(-0,17 \leq Z \leq 0,33) = P(Z \leq 0,33) - P(Z \leq -0,17) =\)
\(\displaystyle = P(Z \leq 0,33) - (1 - P(Z \leq 0,17)) = 0,6293 - (1 - 0,5675) = 0,6293 - 1 + 0,5675 = 0,1968 \)

Imos ver un par de exemplos, nun deles imos querer calcular unha probabilidade e no outro imos querer calcular que valor me da determinada probabilidade.

Exemplo 1

Nos exames finais as clasificacións dun grupo de alumnos e alumnas seguen unha distribución normal de media 6,2 e varianza 0,64. Se se escolle un estudiante ao chou, cal é a probabilidade de que esté aprobado?

Temos unha distribución normal \(N(6,2; \sqrt{0,64}) = N(6,2; 0,8)\).

Pide a probabilidade \(P(X \geq 5)\).

Paso 1.- Tipificamos: \(\displaystyle P(X \geq 5) = P\left(\frac{X - 6,2}{0,8} \geq \frac{5 - 6,2}{0,8}\right) = P(Z \geq -1,5) \)

Paso 2.- Aplicamos as propiedades (simetría e función de distribución) da distribución normal: \(P(Z \geq -1,5) = 1 - P(Z \leq -1,5) = 1 - (1 - P(Z \leq 1,5)) = P(Z leq 1,5)\)

Paso 3.- Buscamos o valor na táboa da normal estándar: \(P(Z \leq 1,5) = 0,9332\)

Logo a probabilidade de que escollendo un estudiante ao chou esté aprobado é do 93,32 %.

Exemplo 2

Para unha determinada enxeñería matricúlanse 700 estudiantes que aspiran a 25 prazas. Sábese que as notas que teñen de acceso e a ABAU seguen unha distribución normal de media 5,7 e desviación típica 1,5. Cal é a nota de corte para ser seleccionado?

Temos unha distribución normal \(N(5,7; 1,5)\)

Temos 700 opositores para conseguir a praza, a probabilidade de conseguila é de \(\displaystyle \frac{25}{700} = 0,0357\).

Pide \(P(X \geq x) = 0,0357\), como a táboa da normal nos da os datos de menor que, imos transformar isto para que sexa máis directo de ver na táboa.

\(P(X \geq x) = 1 - P(X < x) = 0,0357 \implies 1 - 0,0357 = P(X < x) \implies P(X < x) = 0,9643\).

Esta expresión non a podemos usar para a táboa porque a variable non é normal estándar, pero para iso tipificamos:

\(\displaystyle P(X < x) = P\left(\frac{X - 5,7}{1,5} < \frac{x - 5,7}{1,5}\right) = P\left(Z < \frac{x - 5,7}{1,5}\right) = 0,9643\)

Consultamos agora na táboa que valor da a probabilidade máis próxima a 0,9643, que resulta ser 1,80. Logo:

\(\displaystyle P(Z < 1,8) = 0,9643 \implies \frac{x - 5,7}{1,5} = 1,8 \implies x = 8,4\).

A nota de corte é 8,4.

Licenciado baixo a Licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 4.0