Distribución binomial

Para o caso das variables aleatorias discretas veremos un exemplo de distribución de probabilidade, a distribución binomial.

A distribución binomial aparece nos casos nos que temos un experimento dicotómico, que son experimentos nos que temos só dous resultados, aos que imos denominar éxito e fracaso.

Nesta situación dun experimento dicotómico imos considerar que o realizamos un número determinado de veces, \(n\), e que a probabiliade do éxito en todas as probas é de \(p\).

Neste caso estaríamos ante unha distribución binomial \(\textbf{Bi(n, p)}\), e a probabilidade de que ocorra o éxito un número determinado de veces, \(i\) ven dada por:

\[f(x_i) = P(X = i) = \binom{n}{i} p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Onde \(\displaystyle \binom{n}{i} = \frac{n!}{i!(n-i)!}\)

Nas distribucións de probabilidade temos tamén as medidas estatísticas que coñecemos. No caso da distribución binomial o xeito de calcular a media, a varianza e a desviación típica é:

• Media: \(\mu = n \cdot p\)
• Varianza: \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\)
• Desviación típica: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\)

Vexamos un exemplo: un exame tipo test consta de 8 preguntas. Cada pregunta ten catro posibles respostas, das cales so unha é correcta. Se se contestan todas as preguntas ao chou, cal é a probabilidade de:

1. Acertar todas
2. Fallar todas
3. Suspender o exame
4. Número medio de preguntas acertadas

Neste caso para cada pregunta temos unha situación dicotómica: acertar ou fallar. Imos considerar o noso éxito como "acertar a pregunta", e temos que a probabilidade de éxito é \(\displaystyle \frac{1}{4}\).

Este "experimento" de responder a pregunta ao chou o imos repetir 8 veces. Polo que temos unha \(\displaystyle Bi\left(8, \frac{1}{4}\right)\).

1. Queremos ter éxito en 8 ocasións. Logo:
   \[P(X = 8) = \binom{8}{8} 0,25^8 \cdot 0,75^0 = 0,00001526\]
   A probabilidade de acertar todas é do 0,001526 %.
2. Agora non queremos ter éxito en ningún caso, logo:
   \[P(X = 0) = \binom{8}{0} 0,25^0 \cdot 0,75^8 = 0,1001\]
   A probabilidade de fallar todas é do 10,01 %.
   (Ollo, este caso non é o complementario do apartado a). O caso a) fala de acertar todas, logo todo o que o complementa e fallar polo menos unha, ou o que é o mesmo de acertar 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 ou 0).
3. Para suspender habería que acertar menos de 4 preguntas.
   \[P(X < 4) = P(X = 3) + P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0) = \]
   \[= \binom{8}{3} 0,25^3 \cdot 0,75^5 + \binom{8}{2} 0,25^2 \cdot 0,75^6 + \binom{8}{1} 0,25^1 \cdot 0,75^7 + \binom{8}{0} 0,25^0 \cdot 0,75^8 = 0,8862\]
   A probabilidade de suspender é do 88,62%.
4. Temos que calcular a media: \(\mu = 8 \cdot 0,25 = 2\)