Aproximación da binomial á normal

No caso de distribucións binomiais \(Bi(n, p)\) con \(n\) moi grande, o problema de cálculo pode ser moi pesado. No século XVIII o matemático francés De Moivre mostrou que unha aproximación binomial neste caso pode aproximarse a unha distribución normal.

Entón se estamos na situación en que : \(\left\{\begin{array}{l}n > 30 \\ np > 5 \\ nq >5\end{array}\right.\), a distribución \(Bi(n, p)\) pódese aproximar a unha distribución \(N(np, \sqrt{npq})\).

Esto sería que se temos, por exemplo unha aplicación \(Bi(40; 0,25)\), comprobamos que \(n = 40 > 30\), e \(np = 40 \cdot 0,25 = 10 > 5\) e \(nq = 40 \cdot 0,75 = 30 > 5\), poderíamos resolver o problema considerando que a distribución é unha \(N(10, \sqrt{40 \cdot 0,25 \cdot 0,75}) = N(10; 2,74)\).

Pero con esta aproximación temos que ter en conta que se aproxima unha variable discreta, na que por exemplo a probabilidade dun punto é distinta de 0, a unha variable continua, na que a probabilidade dun punto é 0. Para solventar este problema, precisamos facer unha corrección de continuidade.

Nesta corrección por continuidade o que facemos é ampliar o punto ou intervalo en 0,5 unidades. De xeito que se \(Y\) é a variable discreta e \(X\) a variable continua:

\[P(Y = a) = P(a - 0,5 \leq X \leq a + 0,5) \hspace{2cm} P(Y \leq a) = P(X \leq a + 0,5)\]

\[P(a \leq Y) = P(a - 0,5 \leq X) \hspace{2cm} P(a \leq Y \leq b) = P(a - 0,5 \leq X \leq b + 0,5)\]

Veamos un exemplo.

Nun parque natural, anélanse a un 20% das aves acuáticas que alí anidan. Captúranse para o seu estudio a 100 aves acuáticas, determina a probabilidade de que estean aneladas menos de 30 aves.

Temos unha situación na que a ave pode estar anelada ou non, o éxito é que estea anelada e a súa probabilidade é de 0,2. Repetimos este experimento de comprobar se a ave acuática está anelada 100 veces, logo temos unha binomial \(Bi(100; 0,2)\).

Como os valores son grandes imos aproximala por unha normal. Comprobamos que podemos facelo: \(n = 100 > 30\), \(np = 100 \cdot 0,2 = 20 > 5\) e \(nq = 100 \cdot 0,8 = 80 > 5\). Cúmprense as condicións, logo podemos aproximar por unha \(N(20, \sqrt{100 \cdot 0,2 \cdot 0,8}) = N(20, 4)\).

\(\displaystyle P(Y < 30) \approx P(X < 30,5) = P\left(\frac{X - 20}{4} < \frac{30,5 - 20}{4}\right) = P(Z < 2,63) = 0,9957\)

A probabilidade de que menos de 30 aves acuáticas estean aneladas é do 99,57%.