Variables Aleatorias Bidimensionales

Hasta ahora, cuando hacíamos estadística, nos limitábamos a observar una única característica de una población: la altura de los alumnos, la nota de un examen o el número de hermanos. Esto es lo que llamamos estadística unidimensional.

Sin embargo, en el mundo real las cosas no ocurren aisladas. Las variables suelen estar relacionadas entre sí. Por ejemplo: ¿Tiene que ver el tiempo que estudias con la nota que sacas? ¿Existe relación entre la estatura de una persona y su peso? Para responder a estas preguntas necesitamos dar un paso más y estudiar dos características simultáneamente sobre los mismos individuos. Bienvenidos a la estadística bidimensional.

Una variable aleatoria bidimensional surge cuando a cada elemento o individuo de una población le medimos o asociamos dos características cuantitativas (números) a la vez. En lugar de tener un dato aislado, obtenemos un par de datos para cada individuo, que representamos matemáticamente como (X, Y).

Para entenderlo de forma muy intuitiva, veamos tres ejemplos donde combinamos variables de distinta naturaleza:

• Ejemplo 1 (Física y Salud): Registramos el peso (X, en kg) y la altura (Y, en cm) de cada alumno de nuestra clase. Un alumno concreto nos dará el par (62, 171).
• Ejemplo 2 (Hábitos de estudio): Analizamos las horas semanales que pasáis jugando a videojuegos (X) y las horas semanales dedicadas a estudiar matemáticas (Y). Un dato podría ser (8, 3).
• Ejemplo 3 (Meteorología/Economía): En una playa, registramos la temperatura máxima diaria (X, en °C) y el número de helados vendidos en el chiringuito (Y). Un par de valores podría ser (32, 150).

Para analizar los datos bidimensionales, primero debemos organizarlos. Existen tres formas principales que debéis dominar:

A) Tabla de valores (o de datos emparejados)

Es una lista simple donde se muestran los pares de valores obtenidos de cada individuo. Es ideal para pocos datos.

Ejemplo: Horas de estudio (X) y nota obtenida (Y) de 5 alumnos.

B) Diagrama de dispersión (Nube de puntos)

Consiste en representar cada par de datos (X, Y) como un punto en unos ejes de coordenadas cartesianas. Para generar este gráfico de forma exacta, utilizamos programación en Python mediante la librería matplotlib:

import matplotlib.pyplot as plt

# Datos de los 5 alumnos
x = [2, 4, 5, 7, 9]
y = [4, 6, 7, 8, 10]

plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.scatter(x, y, color='blue', s=100, edgecolors='black')
plt.title('Diagrama de Dispersión: Horas vs Nota')
plt.xlabel('Horas de Estudio (X)')
plt.ylabel('Nota del Examen (Y)')
plt.grid(True, linestyle='--')
plt.xlim(0, 11)
plt.ylim(0, 11)
plt.show()

Este código genera una gráfica donde visualmente apreciamos cómo al aumentar la variable X, también tiende a aumentar la variable Y.

C) Tabla de doble entrada

Se utiliza cuando tenemos muchos datos o cuando los valores se repiten. En las filas colocamos los valores de la variable X, en las columnas los de la Y, y en las celdas interiores anotamos las frecuencias absolutas (cuántas veces se repite esa combinación).

Ejemplo: Número de hermanos (X) y número de mascotas (Y) en 20 familias.

Las frecuencias marginales nos permiten estudiar cada variable por separado, "olvidándonos" momentáneamente de la otra. Se obtienen sumando las filas o las columnas de una tabla de doble entrada.

• La frecuencia marginal de X se obtiene sumando los valores de cada fila.
• La frecuencia marginal de Y se obtiene sumando los valores de cada columna.

Ejemplo Ilustrativo

Retomemos la tabla de hermanos (X) y mascotas (Y) del apartado anterior y calculemos sus márgenes (totales):

Comprobemos estas operaciones de suma marginal usando Python:

import numpy as np

# Matriz de datos internos de la tabla
tabla = np.array([[4, 2, 1],
                  [2, 5, 3],
                  [1, 0, 2]])

marginal_x = tabla.sum(axis=1) # Suma por filas
marginal_y = tabla.sum(axis=0) # Suma por columnas
total_n = tabla.sum()          # Total absoluto

print(f"Marginal de X (Hermanos): {marginal_x}")
print(f"Marginal de Y (Mascotas): {marginal_y}")
print(f"Total de individuos (N): {total_n}")

# Output esperado:
# Marginal de X (Hermanos): [ 7 10  3]
# Marginal de Y (Mascotas): [7 7 6]
# Total de individuos (N): 20

A partir de aquí podemos extraer las dos tablas unidimensionales independientes de manera clásica.

La correlación es el grado de relación o de asociación lineal que existe entre las dos variables. Para medirla numéricamente a nivel de 4º de ESO, utilizamos el indicador estrella: el coeficiente de correlación lineal de Pearson (denotado con la letra r).

¿Cómo se calcula numéricamente?

Aunque la fórmula matemática involucra conceptos como la covarianza y las desviaciones típicas, en la práctica tecnológica actual nos apoyamos en herramientas de cálculo como Python para obtener su valor de forma precisa. Vamos a verificar numéricamente el coeficiente de nuestro ejemplo de horas de estudio (X) y nota (Y).

import numpy as np

x = np.array([2, 4, 5, 7, 9])
y = np.array([4, 6, 7, 8, 10])

# Calcular la matriz de correlación de Pearson
matriz_correlacion = np.corrcoef(x, y)
r = matriz_correlacion[0, 1]

print(f"El coeficiente de correlación r es: {r:.4f}")

# Output esperado:
# El coeficiente de correlación r es: 0.9820

Como el valor obtenido es r = 0.9820 (muy cercano a 1), concluimos que existe una relación lineal positiva muy fuerte entre las horas que se estudia y la nota obtenida.

La dependencia entre dos variables puede diagnosticarse de dos maneras complementarias: de forma visual (mediante la nube de puntos) y de forma analítica (mediante el coeficiente de correlación r).

Caso 1: Dependencia Lineal Positiva

Visualmente: Los puntos de la nube se disponen de forma creciente (de abajo-izquierda a arriba-derecha). Al aumentar X, aumenta Y.
Numéricamente: r es positivo y cercano a 1.
Ejemplo real: Altura y peso. A más altura, por lo general, mayor peso.

Caso 2: Dependencia Lineal Negativa

Visualmente: Los puntos se disponen de forma decreciente (de arriba-izquierda a abajo-derecha). Al aumentar X, disminuye Y.
Numéricamente: r es negativo y cercano a -1.
Ejemplo real: Horas de uso de pantallas por la noche y horas de sueño profundo. A más pantallas, menos descanso.

Caso 3: Independencia o Ausencia de Relación

Visualmente: Los puntos están dispersos caóticamente, formando una nube redondeada sin ninguna dirección clara.
Numéricamente: r es próximo a 0.
Ejemplo real: Número de calzado de una persona y su nota en matemáticas. No tienen ninguna relación.

A continuación se muestra el código de programación empleado para ilustrar visualmente estos tres escenarios y contrastarlos con sus respectivos coeficientes de Pearson:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Generación de datos sintéticos orientativos
np.random.seed(42)
x = np.linspace(10, 50, 30)

# Caso 1: Positiva
y_pos = x + np.random.normal(0, 3, 30)
r_pos = np.corrcoef(x, y_pos)[0,1]

# Caso 2: Negativa
y_neg = -x + np.random.normal(0, 3, 30)
r_neg = np.corrcoef(x, y_neg)[0,1]

# Caso 3: Independiente
y_ind = np.random.normal(30, 10, 30)
r_ind = np.corrcoef(x, y_ind)[0,1]

# Dibujar las 3 gráficas
fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4))

axs[0].scatter(x, y_pos, color='green')
axs[0].set_title(f'Positiva (r = {r_pos:.2f})')
axs[0].grid(True)

axs[1].scatter(x, y_neg, color='red')
axs[1].set_title(f'Negativa (r = {r_neg:.2f})')
axs[1].grid(True)

axs[2].scatter(x, y_ind, color='gray')
axs[2].set_title(f'Sin Relación (r = {r_ind:.2f})')
axs[2].grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

Pon a prueba lo aprendido resolviendo en tu cuaderno las siguientes actividades basadas en los apartados que hemos estudiado: