Apuntes: Variables Aleatorias Bidimensionales

Variables Aleatorias Bidimensionales

¡Hola a todos y a todas! Bienvenidos a vuestros apuntes digitales de Matemáticas A para 4º de ESO. En esta unidad daremos un paso muy importante: dejaremos de mirar los datos de uno en uno para aprender a observar cómo se relacionan dos características diferentes a la vez sobre un mismo grupo de personas u objetos. ¡Vamos a explorarlo de forma sencilla y directa paso a paso!

1. Introducción al tema

Hasta ahora, en la estadística unidimensional, analizábamos una sola variable de manera aislada (por ejemplo, la nota de un examen, el peso de una persona o el número de hermanos). Aunque esto es útil, la realidad suele ser más compleja e interesante.

En el mundo real, las variables suelen interactuar entre sí. Nos interesa saber si los cambios en una característica influyen en los cambios de otra. Por ejemplo: ¿Están relacionadas las horas que pasamos entrenando con nuestra resistencia física? ¿Tiene que ver la temperatura de la calle con la cantidad de energía que consume un hogar? La estadística bidimensional nace precisamente para dar respuesta a estas preguntas, permitiéndonos estudiar dos propiedades simultáneamente.

2. Concepto de Variable Aleatoria Bidimensional

Una variable aleatoria bidimensional surge cuando medimos u observamos dos características cuantitativas diferentes (a las que llamamos X e Y) en cada uno de los individuos de una misma población.

De este modo, la información recogida para cada individuo ya no es un único número, sino un par ordenado de valores que representamos matemáticamente como (X, Y).

Para entenderlo intuitivamente, veamos tres ejemplos donde combinamos variables de naturalezas totalmente distintas:

Ejemplo 1 (Medicina y salud): Registramos el tiempo diario dedicado a caminar (Variable X, en minutos) y el nivel de colesterol en sangre (Variable Y, en mg/dl) de un grupo de pacientes. Un individuo concreto podría darnos el par ordenado (45, 190).
Ejemplo 2 (Hábitos de consumo): Estudiamos los ingresos mensuales de una familia (Variable X, en euros) y el dinero destinado mensualmente al ocio y cultura (Variable Y, en euros). Una recogida de datos nos daría un par como (2100, 150).
Ejemplo 3 (Rendimiento escolar): Medimos las horas semanales que dedicas a jugar con videojuegos (Variable X) y la calificación final en la asignatura de Matemáticas (Variable Y). El par de un alumno podría ser (12, 5).

3. Formas de representación

Disponemos de tres herramientas principales para organizar y mostrar los datos acumulados de una variable bidimensional:

A) Tabla de valores (o datos emparejados)

Es una tabla simple formada por dos filas (o dos columnas) donde se emparejan directamente las observaciones de cada individuo. Se usa cuando el número de datos no es muy grande.

Ejemplo: Horas de estudio (X) y nota del examen (Y) de 5 alumnos.

Horas de estudio (X)	1	2	3	4	5
Nota del examen (Y)	3	5	6	8	9

B) Tabla de doble entrada

Se utiliza cuando tenemos una cantidad grande de datos y algunos de ellos se repiten. En las filas se colocan las modalidades de la variable X, en las columnas las de la variable Y, y en el cruce de ambas (celdas interiores) anotamos la frecuencia absoluta (el número de veces que aparece ese par de valores).

Ejemplo: Número de ordenadores en casa (X) y número de miembros de la familia (Y) de 15 alumnos.

X \ Y	3 miembros	4 miembros	5 miembros
1 ordenador	2	3	1
2 ordenadores	1	4	2
3 ordenadores	0	1	1

C) Diagrama de dispersión (Nube de puntos)

Es la representación gráfica de los datos. Consiste en un plano cartesiano donde cada par de valores (X, Y) se marca con un punto. A continuación, se presenta la nube de puntos correspondiente a las horas de estudio frente a las notas de los alumnos:

4. Tablas de Frecuencias Marginales

Cuando trabajamos con una tabla de doble entrada, las frecuencias marginales sirven para estudiar el comportamiento de cada variable de manera individual, ignorando por un momento la existencia de la otra.

La frecuencia marginal de X se obtiene sumando todos los valores de su correspondiente fila.
La frecuencia marginal de Y se obtiene sumando todos los valores de su correspondiente columna.

Ejemplo Ilustrativo

Añadimos los márgenes de suma a la tabla anterior (ordenadores vs miembros de la familia):

X \ Y	3 miembros	4 miembros	5 miembros	Frec. Marginal X
1 ord.	2	3	1	6
2 ord.	1	4	2	7
3 ord.	0	1	1	2
Frec. Marginal Y	3	8	4	N = 15

A partir de los totales marginales, podemos extraer dos tablas independientes:

Tabla marginal de X: 1 ordenador (6 familias), 2 ordenadores (7 familias), 3 ordenadores (2 familias).

Tabla marginal de Y: 3 miembros (3 familias), 4 miembros (8 familias), 5 miembros (4 familias).

5. Correlación y su cálculo numérico paso a paso

La correlación es la medida que nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal existente entre dos variables. Para calcularla de forma numérica, necesitamos seguir una estructura matemática precisa de tres fases.

Fase 1: Las Medias y Varianzas Marginales

Calculamos primero la media muestral ($\bar{X}$, $\bar{Y}$) y la desviación típica ($s_x$, $s_y$) de cada variable por separado de la forma habitual.

Fase 2: La Covarianza ($s_{xy}$)

La covarianza mide la variabilidad conjunta de las dos variables respecto a sus medias. Su signo indica si la relación es directa (positiva) o inversa (negativa).

Fórmula de la Covarianza: $$s_{xy} = \frac{\sum (x_i \cdot y_i)}{N} - \bar{X} \cdot \bar{Y}$$

Fase 3: Coeficiente de Correlación de Pearson ($r$)

Para estandarizar el resultado y saber con exactitud la fuerza de la relación, dividimos la covarianza entre el producto de las desviaciones típicas. El resultado siempre estará entre -1 y 1.

Fórmula de Pearson: $$r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$$

Ejemplo de Proceso Completo de Cálculo

Utilizaremos los datos de la tabla de valores anterior de Horas de estudio (X) y Nota (Y): (1,3), (2,5), (3,6), (4,8), (5,9) donde el número total de datos es $N = 5$.

Paso 1: Tabla auxiliar de cálculos básicos

$x_i$	$y_i$	$x_i^2$	$y_i^2$	$x_i \cdot y_i$
1	3	1	9	3
2	5	4	25	10
3	6	9	36	18
4	8	16	64	32
5	9	25	81	45
$\sum = 15$	$\sum = 31$	$\sum = 55$	$\sum = 215$	$\sum = 108$

Paso 2: Cálculo de Medias, Varianzas y Desviaciones Típicas

Media de X: $\bar{X} = \frac{15}{5} = 3$
Media de Y: $\bar{Y} = \frac{31}{5} = 6.2$
Varianza de X: $s_x^2 = \frac{55}{5} - 3^2 = 11 - 9 = 2 \rightarrow s_x = \sqrt{2} \approx 1.4142$
Varianza de Y: $s_y^2 = \frac{215}{5} - 6.2^2 = 43 - 38.44 = 4.56 \rightarrow s_y = \sqrt{4.56} \approx 2.1354$

Paso 3: Cálculo de la Covarianza

$$s_{xy} = \frac{108}{5} - (3 \cdot 6.2) = 21.6 - 18.6 = 3$$

Paso 4: Cálculo del Coeficiente de Pearson ($r$)

$$r = \frac{3}{1.4142 \cdot 2.1354} = \frac{3}{3.0199} \approx 0.9934$$

El cálculo estadístico ratifica una asociación lineal positiva prácticamente perfecta.

6. Análisis de Dependencia (Gráficos vs Coeficiente)

Para determinar la relación y dependencia entre dos variables, combinamos el diagnóstico visual de la nube de puntos con el valor matemático de $r$:

Dependencia Lineal Positiva (o Directa): Al crecer la variable X, la variable Y también tiende a aumentar. La nube de puntos sigue una trayectoria ascendente. El coeficiente $r$ da un valor positivo muy cercano a 1.
Ejemplo: Horas de estudio y nota de examen ($r = 0.99$).
Dependencia Lineal Negativa (o Inversa): Al crecer la variable X, la variable Y tiende a disminuir. La nube de puntos sigue una trayectoria claramente descendente. El coeficiente $r$ da un valor negativo muy cercano a -1.
Ejemplo: Número de horas semanales de juego sin control y nota de matemáticas ($r = -0.85$).
Independencia (Ausencia de relación lineal): Los cambios en X no influyen de forma constante en el comportamiento de Y. La nube de puntos aparece dispersa, redondeada y sin dirección aparente. El coeficiente $r$ toma valores cercanos a 0.
Ejemplo: Talla de calzado de una persona y su agudeza visual ($r \approx 0.02$).

A continuación se presentan los tres escenarios modelados gráficamente mediante nubes de puntos:

7. Ejercicios Prácticos

Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios diseñados para repasar todos los conceptos explicados:

Ejercicio 1 (Representación y Concepto):
Se recogen las faltas de asistencia a clase (X) and la nota del examen de evaluación (Y) de 6 alumnos: (0, 9), (2, 8), (5, 5), (1, 8), (4, 6), (6, 3).
a) Representa los datos en una tabla de valores y justifica con tus palabras por qué es una variable bidimensional.
b) Esboza en un papel cuadriculado su diagrama de dispersión correspondiente.

Ejercicio 2 (Frecuencias Marginales):
Dada la siguiente tabla de doble entrada sobre el número de hijos (X) y el número de televisiones en casa (Y) de un bloque de viviendas:

X \ Y	1 TV	2 TV
0 hijos	5	2
1 hijo	3	6
2 hijos	1	4

Calcula las tablas de frecuencias marginales para la variable X y para la variable Y. Indica el tamaño total de la muestra ($N$).

Ejercicio 3 (Cálculo de Correlación y Dependencia):
Utilizando el procedimiento paso a paso del apartado 5, toma la variable del Ejercicio 1 (X: Faltas, Y: Nota) y:
a) Calcula los valores de las medias $\bar{X}$ e $\bar{Y}$.
b) Determina la covarianza ($s_{xy}$).
c) Calcula el coeficiente de correlación de Pearson ($r$) e interpreta razonadamente si la dependencia es positiva, negativa o nula.

Ejercicio 4 (Comparación de Relaciones):
Un centro de estudios analiza dos variables bidimensionales distintas en su alumnado:
• Estudio A: Horas semanales de lectura libre (X) y nota en Lengua (Y). Tras los cálculos estadísticos realizados internamente, se obtiene una covarianza $s_{xy} = 4.2$ y unas desviaciones típicas $s_x = 2.1$, $s_y = 2.4$.
• Estudio B: Minutos diarios de meditación guiada (W) y nivel de estrés medido de 1 a 10 (Z). Se obtiene un coeficiente de correlación de Pearson $r = -0.89$.

Pregunta: Calcula el coeficiente de Pearson para el Estudio A y concluye razonadamente en cuál de los dos estudios existe una relación o asociación lineal más fuerte entre sus variables.