Funciones Reales

La relación existente entre dos magnitudes suele venir dada por medio de una fórmula o expresión matemática llamada función.

Una función real de variable real es una correspondencia tal que a cada elemento de un subconjunto de R, llamado dominio de la función, Dom f, le corresponde uno y sólo un elemento de otro subconjunto de R, llamado conjunto imagen o recorrido de la función, Im f.

Una función real de variable real se puede expresar de la siguiente forma:

La función se llama real porque el conjunto final es R y se llama de variable real porque el conjunto inicial es R.

Dominios de las funciones más usuales:

• Funciones polinómicas. El dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales.
• Funciones racionales. El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, excluidos los ceros o raíces de la ecuación del denominador.
• Funciones irracionales del tipo \( f(x)=\sqrt[n]{g(x)} \). Si n es impar, el dominio de f coincide con el dominio de \( g(x) \), y si n es par, el dominio de f es el conjunto de números reales tales que \( g(x)\ge0 \).
  Dom \( f = Dom~g \) si n es impar;
  Dom \( f = \{x \in R / g(x) \ge 0\} \) si n es par
• Funciones trigonométricas. Las del tipo \( f(x)=sen[g(x)] \) y \( f(x)=cos[g(x)] \) tienen por dominio el dominio de \( g(x) \). Las funciones del tipo \( f(x)=tg[g(x)] \) tienen por dominio:
  $$Dom~f = \left\{ x \in R / g(x) \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \text{ con } k \in Z \right\}$$
• Funciones exponenciales. El dominio de estas funciones, \( f(x)=a^{g(x)} \) con \( a>0 \) y \( a\ne1 \), coincide con el dominio de \( g(x) \).
• Funciones logarítmicas. El dominio de este tipo de funciones, \( f(x)=log_{a}[g(x)] \) con \( a>0 \) y \( a\ne1 \), es el subconjunto de los números tales que hacen \( g(x) \) positivo.
  $$Dom~f = \{x \in R / g(x) > 0\}$$

2.1. Funciones Simétricas

Una función \( y=f(x) \) es simétrica respecto del eje de ordenadas o eje OY si verifica:

Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas se llaman funciones pares.

Ejemplo: La función \( f(x)=e^{x}+e^{-x} \) es una función par.

Una función \( y=f(x) \) es simétrica respecto del origen de coordenadas si verifica: \( f(-x)=-f(x) \), \( \forall x \in Dom~f \).

Las funciones simétricas respecto del origen de coordenadas se llaman funciones impares.

Ejemplo: La función \( f(x)=\frac{4x}{x^{2}+4} \) es una función impar.

2.2. Funciones Periódicas

Una función es periódica de periodo \( T (T>0) \) si verifica:

Al menor valor que toma T se le llama período principal de la función. Cualquier múltiplo del período principal es también un período de la función.

2.3. Monotonía

La monotonía se basa en estudiar cómo aumenta o disminuye la variable dependiente y al aumentar o disminuir la variable independiente x.

2.3.1. Funciones estrictamente crecientes

Una función f es estrictamente creciente en un intervalo \( (a,b) \) si y sólo si:

Una función f es estrictamente creciente en un punto de abscisa \( x_{0} \) si existe un entorno de \( x_{0} \), \( E(x_{0},\epsilon)=(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon) \), en el cual la función es estrictamente creciente.

2.3.2. Funciones estrictamente decrecientes

Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo \( (a,b) \) si y sólo si:

Una función f es estrictamente decreciente en un punto de abscisa \( x_{0} \) si existe un entorno de \( x_{0} \), \( E(x_{0},\epsilon)=(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon) \), en el cual la función es estrictamente decreciente.

2.4. Extremos Relativos

Una función f tiene un máximo relativo en un punto de \( x_{0} \), si existe un entorno de \( x_{0} \), \( E(x_{0},\epsilon)=(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon) \), tal que para todo x que pertenece al entorno reducido \( E^{*}(x_{0},\epsilon)=(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon)-\{x_{0}\} \) se verifica que: \( f(x) < f(x_{o}) \).

Una función tiene un máximo relativo en un punto si en las proximidades de ese punto es el mayor valor que toma la función.

Una función f tiene un mínimo relativo en un punto de \( x_{0} \), si existe un entorno de \( x_{0} \), \( E(x_{0},\epsilon)=(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon) \), tal que para todo x que pertenece al entorno reducido \( E^{*}(x_{0},\epsilon)=(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon)-\{x_{0}\} \) se verifica que: \( f(x) > f(x_{o}) \).

Una función tiene un mínimo relativo en un punto si en las proximidades de ese punto es el valor más pequeño que toma la función.

La función \( h(x)=cos(x^{2}-1) \) es una función compuesta de las funciones \( f(x)=x^{2}-1 \) y \( g(x)=cos~x \), es decir:

Dadas dos funciones f y g, con Im \( f \subset Dom~g \), se llama función compuesta de la función f con la función g (o f compuesta con g) a la función \( g \circ f \) que cumple:

Las propiedades de más características de la composición de funciones son:

• Propiedad asociativa. Tres funciones cualesquiera, \( f, g \text{ y } h \), que se puedan componer, verifican:
  $$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$$
• Propiedad no conmutativa. La composición de funciones, en general, no es conmutativa, es decir:
  $$g \circ f \ne f \circ g$$

Antes de definir la función inversa recordemos que la función identidad se define como la función que transforma cualquier número en sí mismo, es decir, \( i(x)=x \) \( \forall x \in R \).

La función inversa de una función inyectiva f (una función es inyectiva si cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f) se representa por \( f^{-1} \) y es la función que cumple:

Las propiedades más características que verifican una función y su inversa son:

• \( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = i \), siendo i la función identidad.
• Las gráficas de una función f y su inversa \( f^{-1} \), referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Ejemplo: La inversa de la función \( f(x)=2-3x \) es la función \( f^{-1}(x)=\frac{2-x}{3} \).